[论文解读] Convolution and Product Theorem for the Special Affine Fourier Transform

Ayush Bhandari, Ahmed I. Zayed|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文提出了两种针对特殊仿射傅里叶变换（SAFT）的新卷积运算，建立了变换域中卷积与乘法之间的完整对偶性，解决了先前工作中存在的不一致性。主要贡献是一个保持傅里叶变换乘积公式的卷积定理，且不包含相位因子，从而实现了前向与反向SAFT运算的一致性。

ABSTRACT

The Special Affine Fourier Transform or the SAFT generalizes a number of well known unitary transformations as well as signal processing and optics related mathematical operations. Unlike the Fourier transform, the SAFT does not work well with the standard convolution operation. Recently, Q. Xiang and K. Y. Qin introduced a new convolution operation that is more suitable for the SAFT and by which the SAFT of the convolution of two functions is the product of their SAFTs and a phase factor. However, their convolution structure does not work well with the inverse transform in sofar as the inverse transform of the product of two functions is not equal to the convolution of the transforms. In this article we introduce a new convolution operation that works well with both the SAFT and its inverse leading to an analogue of the convolution and product formulas for the Fourier transform. Furthermore, we introduce a second convolution operation that leads to the elimination of the phase factor in the convolution formula obtained by Q. Xiang and K. Y. Qin.

研究动机与目标

• 解决先前SAFT卷积定义中的不一致性问题，即乘积的逆变换无法得到变换的卷积结果。
• 开发一种与SAFT及其逆变换均兼容的卷积运算，确保卷积定理在对称意义下成立。
• 消除早期SAFT卷积定理中出现的相位因子，例如项翔与秦的成果中所包含的相位因子。
• 将傅里叶变换的卷积-乘积对偶性推广至由SAFT表示的更广泛的酉变换类别。
• 为基于SAFT的采样与逼近理论中的半离散卷积结构提供理论基础。

提出的方法

• 提出一种通过改进核函数定义的新卷积运算，确保卷积的SAFT等于各SAFT的乘积，且不包含相位因子。
• 推导出第二种卷积运算，消除了项翔与秦公式中固有的相位因子，从而获得更简洁的乘积公式。
• 建立一个乘积定理，表明时域中两个函数的乘积对应于SAFT域中的卷积。
• 利用包含参数 $ a, b, c, d, p, q $ 的SAFT核表示形式来定义变换及其逆变换，确保酉性。
• 证明新卷积结构满足对偶性原理：一个域中的卷积对应于另一域中的乘法。
• 通过验证其与已知特例（如傅里叶变换、分数阶傅里叶变换和线性Canonical变换）的一致性，验证了结果的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为SAFT定义一种卷积运算，使得卷积的变换等于各变换的乘积，且不引入相位因子？
• RQ2 为何项翔与秦提出的现有卷积结构无法与逆SAFT交换，如何修正这一问题？
• RQ3 能否为SAFT建立一个统一的卷积理论框架，使其类似于经典傅里叶卷积定理？
• RQ4 两个函数在时域中的乘积与其SAFT表示之间存在何种关系？
• RQ5 所提出的卷积运算如何推广已知的傅里叶、分数阶傅里叶及线性Canonical变换的结果？

主要发现

• 所提出的卷积运算确保 $ \mathscr{T}_{ ext{SAFT}}[f \star g](\omega) = \mathscr{T}_{ ext{SAFT}}[f](\omega) \mathscr{T}_{ ext{SAFT}}[g](\omega) $，实现了无相位因子、对称的卷积定理。
• 新卷积结构与逆SAFT一致，即两个SAFT乘积的逆变换可还原为原始函数的卷积。
• 引入第二种卷积运算，消除了项翔与秦公式中固有的相位因子，简化了卷积公式。
• 建立了乘积定理：时域中两个函数的乘积对应于SAFT域中的卷积，从而完整实现了对偶性。
• 结果可推广至SAFT族中所有酉变换，包括傅里叶变换、分数阶傅里叶变换、线性Canonical变换及偏移变换。
• 该框架为基于SAFT的信号处理中采样与逼近理论的半离散卷积结构的未来发展提供了支持。