[论文解读] Convolution symmetries of integrable hierarchies, matrix models and τ-functions

J. Harnad, A. Yu. Orlov|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文引入了作用于可积层级（特别是KP和2KP-Toda类型）的卷积对称性——通过在希尔伯特空间和费米子福克空间上进行对角作用来变换τ函数。关键结果是：将这些对称性应用于矩阵模型积分时，可生成新的外部耦合矩阵模型，其配分函数同样是τ函数，且通过柯西-利特尔伍德恒等式与安德烈耶夫恒等式，推导出其显式的多重积分与有限行列式表示形式。

ABSTRACT

Generalized convolution symmetries of integrable hierarchies of KP and 2KP-Toda type multiply the Fourier coefficients of the elements of the Hilbert space $\HH= L^2(S^1)$ by a specified sequence of constants. This induces a corresponding transformation on the Hilbert space Grassmannian $\Gr_{\HH_+}(\HH)$ and hence on the Sato-Segal-Wilson τ-functions determining solutions to the KP and 2-Toda hierarchies. The corresponding action on the associated fermionic Fock space is also diagonal in the standard orthonormal base determined by occupation sites and labeled by partitions. The Plücker coordinates of the element element $W \in \Gr_{\HH_+}(\HH)$ defining the initial point of these commuting flows are the coefficients in the single and double Schur function of the associated τfunction, and are therefore multiplied by the corresponding diagonal factors under this action. Applying such transformations to matrix integrals, we obtain new matrix models of externally coupled type that are hence also KP or 2KP-Toda τ-functions. More general multiple integral representations of τfunctions are similarly obtained, as well as finite determinantal expressions for them.

研究动机与目标

• 识别并表征作用于KP与2KP-Toda层级τ函数的卷积对称性。
• 证明这些对称性在希尔伯特空间L²(S¹)与费米子福克空间上以对角方式作用，保持格拉斯曼流形结构。
• 证明将此类对称性应用于标准矩阵模型积分，可生成新的外部耦合矩阵模型，其配分函数为τ函数。
• 利用柯西-利特尔伍德与安德烈耶夫恒等式，推导出结果τ函数的显式多重积分与有限行列式表示形式。
• 建立变换后的配分函数满足2KP-Toda层级的毕奥特-哈里托拉双线性方程。

提出的方法

• 通过对无穷序列的非零常数{r_i}与{~r_i}定义对称性，使τ函数展开中西鲁函数系数乘以r_λ(N)与~r_μ(N)的因子。
• 在费米子福克空间的标准正交基上实现这些变换为对角作用，Plücker坐标随之由这些本征值变换。
• 采用Sato-Segal-Wilson框架，将τ函数解释为无限格拉斯曼流形的元素，Plücker坐标π_N(λ)与B_N(λ,μ)相应变换。
• 通过在曲线Γ与Ḡ上的测度dμ(x,y)，构造τ函数的多重积分表示，其生成函数含流变量t_i与~t_i的指数形式。
• 两次应用柯西-利特尔伍德恒等式，将指数生成函数分解为t与~t变量中西鲁函数的乘积。
• 利用安德烈耶夫恒等式推导出有限行列式形式，将变换后的τ函数表示为核积分G_ij(ρ,~ρ,A,B)的N×N行列式。

实验结果

研究问题

• RQ1 卷积对称性如何作用于希尔伯特空间L²(S¹)及KP层级相关的格拉斯曼流形？
• RQ2 此类对称性对τ函数格拉斯曼像的Plücker坐标产生何种影响？
• RQ3 能否将这些对称性应用于矩阵模型积分，以生成新的τ函数配分函数？
• RQ4 将这些对称性应用于2KP-Toda τ函数时，会产生何种多重积分与行列式表示？
• RQ5 结果配分函数如何满足2KP-Toda层级的毕奥特-哈里托拉双线性方程？

主要发现

• 对τ函数施加卷积对称性后，得到的新τ函数其西鲁函数系数被r_λ(N)与~r_μ(N)乘以，后者通过杨图条目上的乘积定义。
• 2KP-Toda层级的变换后τ函数具有涉及测度dμ(x_a,y_a)与行列式Δ(X), Δ(Y)的多重积分表示，其生成函数含t_i与~t_i变量。
• 所得τ函数可表示为核G_ij(ρ,~ρ,A,B) = ∫∫ dμ(x,y) ρ_+(a_j x) ~ρ_+(b_j y)的N×N有限行列式，确保收敛性与定义良好性。
• 对于高斯测度与指数型ρ_+, ~ρ_+，配分函数退化为伊茨基森-祖伯两矩阵模型的规范等价形式，确认其τ函数性质。
• 柯西-利特尔伍德恒等式使指数生成函数可分解为t与~t变量中西鲁函数的乘积，这对推导多重积分形式至关重要。
• 安德烈耶夫恒等式被用于将两个行列式的乘积简化为单个N×N行列式，从而得到变换后τ函数的有限行列式表示。