[论文解读] Convolutional Phase Retrieval via Gradient Descent

Qing Qu, Yuqian Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 69被引用 17

一句话总结

该论文提出了一种可证明高效的卷积相位恢复方法，采用梯度下降算法，结合谱初始化与广义梯度下降，从随机核的循环卷积的幅度测量中恢复复信号。在温和条件下，当测量数满足 $\Omega(n \|\mathbf{C}_\mathbf{x}\|^2 / \|\mathbf{x}\|^2 \cdot \operatorname{poly}\log n)$ 时，该方法以高概率实现线性收敛至真实信号（全局相位除外）。

ABSTRACT

We study the convolutional phase retrieval problem, of recovering an unknown signal $\mathbf x \in \mathbb C^n $ from $m$ measurements consisting of the magnitude of its cyclic convolution with a given kernel $\mathbf a \in \mathbb C^m $. This model is motivated by applications such as channel estimation, optics, and underwater acoustic communication, where the signal of interest is acted on by a given channel/filter, and phase information is difficult or impossible to acquire. We show that when $\mathbf a$ is random and the number of observations $m$ is sufficiently large, with high probability $\mathbf x$ can be efficiently recovered up to a global phase shift using a combination of spectral initialization and generalized gradient descent. The main challenge is coping with dependencies in the measurement operator. We overcome this challenge by using ideas from decoupling theory, suprema of chaos processes and the restricted isometry property of random circulant matrices, and recent analysis of alternating minimization methods.

研究动机与目标

• 解决从已知随机核与复信号的循环卷积的幅度测量中恢复复信号的挑战。
• 克服由结构化随机循环测量矩阵中的依赖性引发的统计与算法难题。
• 在现实且结构化的测量模型下，开发一种可证明收敛的卷积相位恢复优化方法。
• 证明该方法以高概率实现线性收敛至真实信号（全局相位除外）。
• 在对信号与核结构的假设尽可能少的前提下，提供基于谱初始化的广义梯度下降的恢复理论保证。

提出的方法

• 将卷积相位恢复问题建模为最小化一个非凸、非光滑、加权最小二乘目标函数：$ f(\mathbf{z}) = \frac{1}{2m}\left\|\mathbf{b}^{1/2} \odot (\mathbf{y} - |\mathbf{A}\mathbf{z}|)\right\|^2 $，其中 $\mathbf{A}$ 是由核 $\mathbf{a}$ 导出的循环矩阵。
• 利用谱初始化获得一个接近真实信号的初始点，充分利用测量模型的结构及随机循环矩阵的性质。
• 应用广义梯度下降迭代最小化非凸目标函数，通过次梯度更新处理非光滑性。
• 借助分解理论、混沌过程的上确界以及随机循环矩阵的限制等距性（RIP）工具，分析在依赖性约束下的收敛性。
• 通过集中不等式与针对结构化随机矩阵定制的矩矩界分析优化景观的几何结构，建立收敛保证。
• 在目标函数中引入加权向量 $\mathbf{b}$ 以促进理论分析，但该加权不影响最终的恢复性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义梯度下降结合谱初始化能否可证明地从随机核与复信号循环卷积的幅度测量中恢复复信号？
• RQ2 卷积相位恢复模型中实现稳定高效恢复所需的最小测量数是多少？
• RQ3 循环测量矩阵的行与列之间的统计依赖性如何影响基于梯度方法的收敛性？
• RQ4 在卷积模型下，能否为随机循环矩阵建立限制等距性（RIP），其如何支持恢复保证？
• RQ5 卷积测量算子的结构性质在多大程度上实现了高效计算与更优的样本复杂度，相较于通用随机矩阵？

主要发现

• 以高概率，当测量数 $m$ 满足 $m \geq \Omega\left(\frac{\|\mathbf{C}_\mathbf{x}\|^2}{\|\mathbf{x}\|^2} n \cdot \operatorname{poly}\log n\right)$ 时，所提方法可恢复真实信号 $\mathbf{x}$（至全局相位偏移）。
• 该方法从一个在 $\ell^2$-范数下接近真实信号的谱初始化出发，实现了迭代次数上的线性收敛速率。
• 理论分析通过使用分解技术与混沌过程的上确界，克服了测量算子中统计依赖性的挑战。
• 随机循环矩阵以高概率满足限制等距性（RIP），从而在所述样本复杂度下支持稳定恢复。
• 由于卷积算子的快速傅里叶变换（FFT）结构，该方法每轮迭代的计算成本为 $\mathcal{O}(m\log m)$，内存使用量为 $\mathcal{O}(m)$。
• 恢复过程对噪声具有鲁棒性，且对信号的假设仅限于其范数与卷积核的结构，无需强假设。