[论文解读] Convolutions on compact groups and Fourier algebras of coset spaces

Brian Forrest, Ebrahim Samei+1 more|ArXiv.org|May 29, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文研究紧致群及其陪集空间上的卷积映射，识别出A(G)的新子代数，如A_γ(G)与A_Δ(G)。研究证明，当G的单位连通分支为阿贝尔时，A(G/K)是超-Tauberian（因此弱算子可约），但当G含有非阿贝尔连通紧致子群时，A(G/K)不满足算子弱可约性。主要贡献在于，利用改进的谱综合技术，为一类群中的A(G/K)提供了算子可约性的刻画。

ABSTRACT

In this note we study two related questions. (1) For a compact group G, what are the ranges of the convolution maps on A(GXG) given for u,v in A(G) by $u X v |-> u*v' ($v'(s)=v(s^{-1})$) and $u X v |-> u*v$? (2) For a locally compact group G and a compact subgroup K, what are the amenability properties of the Fourier algebra of the coset space A(G/K)? The algebra A(G/K) was defined and studied by the first named author. In answering the first question, we obtain for compact groups which do not admit an abelian subgroup of finite index, some new subalgebras of A(G). Using those algebras we can find many instances in which A(G/K) fails the most rudimentary amenability property: operator weak amenability. However, using different techniques, we show that if the connected component of the identity of G is abelian, then A(G/K) always satisfies the stronger property that it is hyper-Tauberian, which is a concept developed by the second named author. We also establish a criterion which characterises operator amenability of A(G/K) for a class of groups which includes the maximally almost periodic groups.

研究动机与目标

• 确定紧致群G上A(G×G)上卷积映射的像，特别是u×v ↦ u⁎v̌与u×v ↦ u⁎v的像。
• 分析局部紧G与紧K下，陪集空间G/K的傅里叶代数A(G/K)的可约性性质。
• 识别A(G)的新子代数，如A_γ(G)与A_Δ(G)，并理解其在谱综合与可约性中的作用。
• 建立A(G/K)为超-Tauberian或算子可约的条件，特别是当G具有阿贝尔或非阿贝尔连通分支时。
• 发展用于研究傅里叶代数中谱综合的精细技术，从而构造出新的合成集与非合成集的例子。

提出的方法

• 作者通过映射Γ̌: A(G×G) → A_Δ(G)与Γ̌: A(G×G) → A_γ(G)，利用等距嵌入M̌与商映射P̌来定义卷积映射。
• 他们运用紧致群上的调和分析，通过不可约酉表示π ∈ Ĝ分解函数，并计算矩阵系数，将A(G×G)中的范数与A_γ(G)中的范数关联起来。
• 关键恒等式为：f ∈ ran(Γ̌)当且仅当∑_π∈Ĝ d_π² ||f̂(π)||₁ < ∞，该式刻画了A_γ(G)。
• 他们证明A_Δ(G) ⊂ A_γ(G) ⊂ A(G)，且A_γ(G) = A(G)当且仅当G具有有限指数的阿贝尔子群。
• 利用A(G/K)上的算子空间结构，通过超-Tauberian性质与算子可约性准则分析可约性。
• 他们应用谱综合技术，在A(G×G)中构造出不在G×G的闭陪集环中的新局部合成集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致群G，卷积映射u×v ↦ u⁎v̌与u×v ↦ u⁎v在A(G×G)上的像为何？
• RQ2 傅里叶代数A(G/K)在何种情况下是算子可约或算子弱可约的？
• RQ3 子代数如A_γ(G)与A_Δ(G)如何与谱综合及A(G)的结构相关联？
• RQ4 在何种G条件下，A(G/K)是超-Tauberian的？这与G的单位连通分支有何关联？
• RQ5 通过卷积与表示论技术，能否在A(G×G)中构造出新的合成集或非合成集？

主要发现

• 映射u×v ↦ u⁎v̌的像是等距同构于A_γ(G)，且该代数等于A(G)当且仅当G具有有限指数的阿贝尔子群。
• 映射u×v ↦ u⁎v的像是等距同构于A_γ(G)，确认了Johnson的早期结果，并将其推广至算子空间设定。
• 若G含有紧致连通非阿贝尔子群，则存在G×G的紧致子群K*，使得A(G/K)不满足算子弱可约性。
• 当G的单位连通分支为阿贝尔时，A(G/K)是超-Tauberian的，这意味着其弱可约。
• 对于一类[MAP] K-群，本文基于群论性质与算子空间性质，给出了A(G/K)算子可约的刻画。
• 作者在A(G×G)中构造出不在G×G的闭陪集环中的新局部合成集，尤其当G具有阿贝尔连通分支时。