[论文解读] Cooperation principle, stability and bifurcation in random complex dynamics

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 7

一句话总结

该论文证明，在多项式的一般随机复动力系统中，由于生成元之间的自动协同作用，平均系统中的混沌行为消失，导致系统稳定并使转移算子指数收敛到有限维的酉特征向量空间。论文通过逃逸概率的偏导数引入了Takagi函数的复数类比，证明了其对参数的实解析依赖性，并在Julia集的剩余集上具有非可微性。

ABSTRACT

We investigate random complex dynamics of rational or polynomial maps on the Riemann sphere. We show that regarding random complex dynamics of polynomials, generically, the chaos of the averaged system disappears at any point in the Riemann sphere due to the automatic coopeartion of many kinds of maps in the system, even though each map of the system has a chaotic part. Moreover, we show that (1) the set of stable systems is open and dense in the space of random dynamical systems of polynomials, and (2) for a stable system, there exist at most finitely many minimal sets and each minimal set is attracting. These (1) and (2) solve a random analogy of the most famous open conjecture in complex dynamics "hyperbolic rational maps are dense in the space of rational maps." Furthermore, we show that for a stable system, the orbit of a Hölder continuous function under the transition operator tends exponentially fast to the finite-dimensional space $U$ of finite linear combinations of unitary eigenvectors of the transition operator. From this, we obtain that the spectrum of the transition operator acting on the space of Hölder continuous functions has a gap between the set of unitary eigenvalues and the rest. Combining this with the perturbation theory for linear operators, we obtain that for a stable system constructed by a finite family of rational maps, the projection to the space $U$ depends real-analytically on the probability parameters. By taking a partial derivative of the function of probability of tending to a minimal set with respect to a probability parameter, we introduce a complex analogue of the Takagi function, which is a new concept. Many new phenomena which can hold in random complex dynamics but cannot hold in usual iteration dynamics of a single rational map are found and systematically investigated.

研究动机与目标

• 研究由Riemann球面上独立同分布的有理映射生成的随机动力系统的长期行为。
• 分析随机复动力系统的稳定性与分岔性质，特别是多项式族的情况。
• 建立有限个吸引性极小集的存在性，并在稳定状态下证明转移算子的指数收敛性。
• 定义并研究作为逃逸概率对参数变化的导数的Takagi函数的复数类比。
• 证明投影到酉特征向量有限维空间上的结果对概率参数具有实解析依赖性。

提出的方法

• 分析由有限个有理映射族生成的有理半群的动力系统，利用Julia集的向后自相似性。
• 应用在Hölder连续函数空间上转移算子的谱理论，研究收敛性与稳定性。
• 运用线性算子的摄动理论，证明投影对概率参数的实解析依赖性。
• 引入函数 $ \psi(z) = \left.\frac{\partial T_{\infty,\tau_a}(z)}{\partial a_1}\right|_{a=b} $ 作为Takagi函数的复数类比。
• 采用平均稳定性与极小集的概念，对长期行为进行分类，并识别可微性区域。
• 应用分形几何与孔隙性理论的结果，刻画Julia集及其维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多项式随机复动力系统的平均系统中，混沌是否持续存在，还是因生成元之间的协同作用而被抑制？
• RQ2 在何种条件下随机动力系统是稳定的，且稳定性如何与极小集的结构相关？
• RQ3 逃逸概率函数 $ T_{\infty,\tau_a}(z) $ 如何依赖于概率参数，其导数的性质是什么？
• RQ4 能否定义Takagi函数的复数类比，其在何处不可微？
• RQ5 转移算子的谱性质与Julia集的几何结构之间存在何种关系？

主要发现

• 对于多项式的一般随机动力系统，由于生成元之间的自动协同作用，平均系统中的混沌行为消失。
• 稳定系统的集合在多项式随机动力系统空间中是开集且稠密。
• 在稳定系统中，仅存在有限个极小集，且每个极小集均为吸引性。
• 任意Hölder连续函数在转移算子作用下的轨道，会以指数速度收敛到有限维空间 $ U $，该空间由酉特征向量的有限线性组合构成。
• 在稳定系统中，投影到 $ U $ 的结果对概率参数具有实解析依赖性。
• 作为逃逸概率导数定义的Takagi函数的复数类比，是Hölder连续的，并在Julia集的一个不可数稠密集上不可微。