[论文解读] Coordinate Descent Algorithms for Phase Retrieval

Wenjun Zeng, Hing Cheung So|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文提出了一种坐标下降（CD）算法——循环式、随机式和贪婪式——用于相位恢复，通过迭代地逐个优化变量，利用一元三次方程的闭式解求解非凸四次优化问题。该方法可全局收敛至驻点，且在样本量充足时，随机式CD以高概率实现全局最小值的几何速率收敛与精确恢复，相较于现有最先进方法，在密集与稀疏信号恢复中均展现出更快的速度与更高的精度，包括在盲均衡化应用中表现优异。

ABSTRACT

Phase retrieval aims at recovering a complex-valued signal from magnitude-only measurements, which attracts much attention since it has numerous applications in many disciplines. However, phase recovery involves solving a system of quadratic equations, indicating that it is a challenging nonconvex optimization problem. To tackle phase retrieval in an effective and efficient manner, we apply coordinate descent (CD) such that a single unknown is solved at each iteration while all other variables are kept fixed. As a result, only minimization of a univariate quartic polynomial is needed which is easily achieved by finding the closed-form roots of a cubic equation. Three computationally simple algorithms referred to as cyclic, randomized and greedy CDs, based on different updating rules, are devised. It is proved that the three CDs globally converge to a stationary point of the nonconvex problem, and specifically, the randomized CD locally converges to the global minimum and attains exact recovery at a geometric rate with high probability if the sample size is large enough. The cyclic and randomized CDs are also modified via minimization of the $\ell_1$-regularized quartic polynomial for phase retrieval of sparse signals. Furthermore, a novel application of the three CDs, namely, blind equalization in digital communications, is proposed. It is demonstrated that the CD methodology is superior to the state-of-the-art techniques in terms of computational efficiency and/or recovery performance.

研究动机与目标

• 解决仅从幅值测量中获得的二次方程所构成的非凸、NP难相位恢复挑战。
• 开发计算高效的算法，避免凸松弛方法（如PhaseLift和PhaseCut）中高成本的半定规划。
• 通过加速收敛速度与提升恢复精度，改进基于梯度的方法（如Wirtinger Flow）。
• 将CD框架扩展至使用ℓ₁-正则化的稀疏信号恢复，适用于压缩感知应用。
• 在数字通信中实现CD在盲均衡化中的新颖应用，实现更低的符号间干扰（ISI）与更高的恢复精度。

提出的方法

• CD框架通过固定除一个变量外的所有变量，迭代最小化单变量四次多项式，将子问题简化为求解具有闭式解的一元三次方程。
• 提出三种变体：循环式（C-CD）、随机式（R-CD）和贪婪式（G-CD），其区别在于每次迭代中选择更新坐标的规则。
• 对于稀疏信号，通过最小化ℓ₁-正则化的四次多项式，引入ℓ₁-正则化的CD，以在解中促进稀疏性。
• 理论分析证明，所有三种CD变体均可全局收敛至非凸目标函数的驻点。
• 对于R-CD，证明了在样本量充足时，其以高概率收敛至全局最小值，并以几何速率实现精确恢复。
• 通过将均衡器建模为相位恢复问题，将该方法应用于盲均衡化，利用CD从含噪、失真的观测中恢复传输信号。

实验结果

研究问题

• RQ1 坐标下降能否有效应用于相位恢复，以实现比Wirtinger Flow等基于梯度的方法更快的收敛速度？
• RQ2 在样本量充足时，随机式坐标下降是否以高概率收敛至全局最小值，收敛速率如何？
• RQ3 ℓ₁-正则化的坐标下降能否提升相位恢复中稀疏信号的恢复性能？
• RQ4 在盲均衡化中，所提出的CD框架在计算效率与恢复精度方面相较于最先进方法表现如何？
• RQ5 坐标下降能否成功扩展至数字通信等实际应用，处理含噪、失真的信号？

主要发现

• 三种CD变体——循环式、随机式与贪婪式——对任意初始值，均可全局收敛至非凸相位恢复问题的驻点。
• 当样本量充足时，随机式CD以高概率收敛至全局最小值，并以几何速率实现精确恢复。
• 贪婪CD变体（选择偏导数绝对值最大的坐标）的收敛速度优于循环式与随机式CD。
• 在无噪声条件下，CD算法的性能与Wirtinger Flow相当或略优，其中GCD略胜于WF，而CCD/RCD表现稍逊。
• 对于稀疏信号，在测量数较少时，ℓ₁-正则化CD（ℓ₁-CCD与ℓ₁-RCD）显著优于WF、PhaseLift、PhaseCut及稀疏GS。
• 在盲均衡化中，基于CD的方法实现的ISI低于Wirtinger Flow、WFOS与超指数算法，且信号恢复精度更高，其中CCD表现最佳。