[论文解读] Coordinate restrictions of linear operators in $l_2^n$

Roman Vershynin|ArXiv.org|Nov 28, 2000

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文在 $\ell_2^n$ 中建立了线性算子在随机坐标子空间上限制的几率界，表明其期望范数受希尔伯特-施密特范数和对数因子控制。该研究提出了基于低秩对角投影的坐标式算子近似方法，并利用随机子空间采样与非交换Khinchine不等式，证明了在随机分组丢失的通信网络中具有鲁棒的信号重建能力。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of improving properties of a linear operator u in $l_2^n$ by restricting it onto coordinate subspaces. We discuss how to reduce the norm of u by a random coordinate restriction, how to approximate u by a random operator with small "coordinate" rank, how to find coordinate subspaces where u is an isomorphism. The first problem in this list provides a probabilistic extension of a suppression theorem of Kashin and Tzafriri, the second one is a new look at a result of Rudelson on the random vectors in the isotropic position, the last one is the recent generalization of the Bourgain-Tzafriri's invertibility principle. The main point is that all the results are independent of n, the situation is instead controlled by the Hilbert-Schmidt norm of u. As an application, we provide an almost optimal solution to the problem of harmonic density in harmonic analysis, and a solution to the reconstruction problem for communication networks which deliver data with random losses.

研究动机与目标

• 分析线性算子在 $\ell_2^n$ 中通过限制到随机坐标子空间，其范数可如何被减小。
• 基于受控秩的随机对角投影，开发一种基于坐标的算子近似方法。
• 建立随机坐标子空间支持同构的条件，从而实现鲁棒的信号恢复。
• 将这些结果应用于调和分析与存在随机数据丢失的通信网络。
• 提供由希尔伯特-施密特范数而非 $n$ 控制的与维度无关的界。

提出的方法

• 使用Schatten类中的非交换Khinchine不等式，对随机坐标限制的期望范数进行有界。
• 应用一个随机对角算子 $\Delta$，其元素为与 $\|ue_j\|$ 成比例的独立选择器，从而实现低秩近似。
• 使用集中不等式控制随机子集大小 $|\sigma|$ 偏离其期望的程度。
• 通过 $\sqrt{n/N} + \max_j \|ue_j\|$ 衍生 $\mathbb{E}\|u|_{\mathbb{R}^\sigma}\|$ 的界，并乘以 $\log n$ 因子。
• 利用恒等式 $\|u(\Delta - \text{id})u^*\|$ 将近似误差与基于框架的信号恢复中的重建质量关联起来。
• 将结果应用于基于框架的信号重建，表明以高概率，$C(\varepsilon)m\log m$ 个分组足以实现 $\varepsilon$-精度的恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过随机坐标限制减小 $\ell_2^n$ 中线性算子的范数？其期望界是什么？
• RQ2 能否通过支持在随机坐标子空间上的低秩算子来近似一个线性算子？其近似误差是多少？
• RQ3 在何种条件下，随机坐标子空间能为给定算子支持同构？
• RQ4 在基于框架的系统中，需要多少随机送达的分组才能以高概率重建信号？
• RQ5 能否使算子限制与近似的界独立于环境维度 $n$？

主要发现

• 对于范数为一的算子 $u$，其随机坐标限制的期望范数满足 $\mathbb{E}\|u|_{\mathbb{R}^\sigma}\| \leq C\log n\left(\sqrt{n/N} + \max_j \|ue_j\|\right)$。
• 当阈值维度 $n = h = \|u\|_{\rm HS}^2$ 时，界简化为 $\mathbb{E}\|u|_{\mathbb{R}^\sigma}\| \leq C\log h \cdot \max_j \|ue_j\|$，且与 $N$ 无关。
• 以秩至多为 $n$ 的随机对角算子 $\Delta$，以高概率满足 $\|u(\Delta - \text{id})u^*\| \leq C\sqrt{\log n} \cdot \sqrt{h/n}$。
• 以高概率，$C(\varepsilon)m\log m$ 个随机送达的分组足以在 $\mathbb{R}^m$ 中以精度 $\varepsilon$ 重建信号，使用基于框架的方法。
• 重建误差 $\|\text{id} - \frac{k}{|\sigma|}\sum_{j\in\sigma} x_j \otimes x_j\|$ 小于 $t$ 的概率至少为 $1 - 6\exp(-t^2/\varepsilon^2)$，其中 $\varepsilon = C\sqrt{\log n} \cdot \sqrt{m/n}$。
• 结果与维度无关，仅依赖于希尔伯特-施密特范数 $h = \|u\|_{\rm HS}^2$，而不依赖于 $n$ 或 $N$。