[论文解读] Copositive Duality for Discrete Markets and Games

Cheng Guo, Merve Bodur+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2021

Electric Power System Optimization参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于离散优化问题的共正交对偶框架，使非凸场景（如机组组合和整数规划博弈）中的强对偶性成为可能。该文提出了一种基于混合整数规划（MIP）的新型割平面算法，可精确求解共正交规划问题，从而支持预算平衡、个体理性定价机制的设计，并通过KKT条件精确计算纯策略纳什均衡。

ABSTRACT

Optimization problems with discrete decisions are nonconvex and thus lack strong duality, which limits the usefulness of tools such as shadow prices and the KKT conditions. It was shown in Burer(2009) that mixed-binary quadratic programs can be written as completely positive programs, which are convex. Completely positive reformulations of discrete optimization problems therefore have strong duality if a constraint qualification is satisfied. We apply this perspective in two ways. First, we write unit commitment in power systems as a completely positive program, and use the dual copositive program to design a new pricing mechanism. Second, we reformulate integer programming games in terms of completely positive programming, and use the KKT conditions to solve for pure strategy Nash equilibria. To facilitate implementation, we also design a cutting plane algorithm for solving copositive programs exactly.

研究动机与目标

• 为解决机组组合和整数规划博弈等离散优化问题中缺乏强对偶性的问题。
• 基于完全正规划（CPP）和共正交规划（COP）构建适用于非凸离散问题的一般对偶框架。
• 设计一种新颖且可实现的算法，用于精确求解共正交规划，包括含离散变量的情形。
• 将共正交对偶性应用于构建非凸电力市场中新的、理论可靠的定价机制。
• 通过共正交对偶的KKT条件刻画并计算整数规划博弈中的纯策略纳什均衡。

提出的方法

• 将混合-二值二次规划（MBQPs）重新表述为完全正规划（CPPs），利用Burer（2009）的结果，即MBQPs等价于CPPs。
• 推导CPP的对偶共正规划（COP），该COP为凸规划，并在满足约束资格条件下实现强对偶性。
• 设计一种新型割平面算法，通过迭代求解混合整数规划（MIPs）精确求解COPs，支持离散变量。
• 利用对偶COP构造一种新的机组组合定价机制，确保在特定条件下实现预算平衡和个体理性。
• 将整数规划博弈（IPGs）重新表述为共正交规划，并应用KKT条件以计算纯策略纳什均衡。
• 通过使用MIP作为主问题并迭代添加割平面以收紧松弛，实现割平面算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 共正交对偶性是否可用于设计非凸电力市场中具有二值机组组合决策的高效且理论可靠的定价机制？
• RQ2 共正交对偶的KKT条件是否可用于刻画并计算整数规划博弈中的纯策略纳什均衡？
• RQ3 能否设计一种通用的、精确求解共正交规划的算法，支持离散变量，并可使用标准MIP求解器实现？
• RQ4 从共正交对偶性导出的定价机制在离散市场中可保证哪些理论性质（如预算平衡和个体理性）？
• RQ5 所提出的COP割平面算法在何种条件下能收敛至精确解？

主要发现

• 所提出的割平面算法可精确求解共正交规划，并能处理离散变量，是文献中首个此类方法。
• 基于COP的机组组合定价机制实现预算平衡，并在适当条件下实现个体理性，具有消除补偿支付的潜力。
• 计算结果表明，CDP（共正交对偶定价）机制在收敛时实现零预补偿利润，与强对偶性一致。
• 对于双矩阵博弈，从共正交形式导出的KKT条件能正确恢复纯纳什均衡，经与lrsnash求解器验证。
• 该算法在7秒内、90次迭代内求解所有测试的双矩阵博弈（2至5个策略），证明了其实际可行性。
• 该方法将KKT条件和强对偶性在非凸离散博弈中的适用性扩展至新领域，实现了新的理论与计算洞见。