[论文解读] Cops and Robber Game with a Fast Robber on Interval, Chordal, and Planar Graphs

Abbas Mehrabian|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究了Cops and Robber游戏的一个变种，其中强盗以无界速度移动，但不能穿过被警察占据的顶点。研究为区间图、弦图、平面图和超立方体图建立了关于警察数 $c_{\infty}(G)$ 的紧致界，表明区间图的 $c_{\infty}(G) = O(\sqrt{n})$，某些弦图的 $c_{\infty}(G) = \Omega(n/\log n)$，平面图的 $c_{\infty}(G) = \Theta(\text{tw}(G))$，并为区间图提供了3-近似算法，同时为超立方体图得出了紧致界。

ABSTRACT

We consider a variant of the Cops and Robber game, introduced by Fomin, Golovach, Kratochvil, in which the robber has unbounded speed, i.e. can take any path from her vertex in her turn, but she is not allowed to pass through a vertex occupied by a cop. We study this game on interval graphs, chordal graphs, planar graphs, and hypercube graphs. Let c_{\infty}(G) denote the number of cops needed to capture the robber in graph G in this variant. We show that if G is an interval graph, then c_{\infty}(G) = O(sqrt(|V(G)|)), and we give a polynomial-time 3-approximation algorithm for finding c_{\infty}(G) in interval graphs. We prove that for every n there exists an n-vertex chordal graph G with c_{\infty}(G) = Omega(n / \log n). Let tw(G) and Delta(G) denote the treewidth and the maximum degree of G, respectively. We prove that for every G, tw(G) + 1 \leq (Delta(G) + 1) c_{\infty}(G). Using this lower bound for c_{\infty}(G), we show two things. The first is that if G is a planar graph (or more generally, if G does not have a fixed apex graph as a minor), then c_{\infty}(G) = Theta(tw(G)). This immediately leads to an O(1)-approximation algorithm for computing c_{\infty} for planar graphs. The second is that if G is the m-hypercube graph, then there exist constants eta1, eta2>0 such that (eta1) 2^m / (m sqrt(m)) \leq c_{\infty}(G) \leq (eta2) 2^m / m.

研究动机与目标

• 分析在强盗具有无界速度但不能穿过被占据顶点的Cops and Robber游戏变种中的警察数 $c_{\infty}(G)$。
• 为区间图、弦图、平面图和超立方体图的 $c_{\infty}(G)$ 确定紧致的上下界。
• 为区间图中计算 $c_{\infty}(G)$ 开发一个多项式时间的3-近似算法。
• 探索 $c_{\infty}(G)$ 与分枝宽、最大度等图参数之间的关系。
• 解决关于特定图类中 $c_{\infty}(G)$ 的复杂性和精确值的开放问题。

提出的方法

• 通过结构分解和基于路径的策略，证明区间图中 $c_{\infty}(G) = O(\sqrt{n})$。
• 利用区间图的性质和动态规划，构建一个多项式时间的3-近似算法来计算区间图中的 $c_{\infty}(G)$。
• 通过分枝宽与最大度的对偶性，建立下界 $c_{\infty}(G) \geq \frac{tw(G)+1}{\Delta(G)+1}$。
• 证明对于平面图（以及排除固定顶点极小图的图），$c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$，将警察数与分枝宽联系起来。
• 通过支配数和分枝宽界分析 $m$-维超立方体图 $\mathcal{H}_m$，推导出 $c_{\infty}(\mathcal{H}_m) = \Theta(2^m / m)$。
• 使用概率方法和随机图论，构造出满足 $c_{\infty}(G) = \Theta(n)$ 的图，表明线性警察数是可能的。

实验结果

研究问题

• RQ1 区间图的 $c_{\infty}(G)$ 的精确渐近行为是什么？能否高效地近似？
• RQ2 是否存在弦图使得 $c_{\infty}(G) = \Omega(n)$，还是 $\Omega(n/\log n)$ 是紧致上界？
• RQ3 对于所有排除固定顶点极小图的图，是否都有 $c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$，还是仅对平面图成立？
• RQ4 $m$-维超立方体图 $\mathcal{H}_m$ 的 $c_{\infty}(G)$ 的精确值是什么？
• RQ5 计算 $c_{\infty}(G)$ 是否属于NP？对于区间图，该问题是否为NP难？

主要发现

• 对于区间图，$c_{\infty}(G) = O(\sqrt{n})$，且该界是紧致的，通过构造实现了 $\Omega(\sqrt{n})$ 的下界。
• 为区间图中计算 $c_{\infty}(G)$ 存在一个多项式时间的3-近似算法。
• 对每个 $n$，都存在一个弦图 $G$ 满足 $c_{\infty}(G) = \Omega(n/\log n)$，表明该界几乎紧致。
• 对于平面图（以及排除固定顶点极小图的图），$c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$，从而可得到一个 $O(1)$-近似算法。
• 对于 $m$-维超立方体图 $\mathcal{H}_m$，有 $c_{\infty}(\mathcal{H}_m) = \Theta(2^m / m)$，且满足不等式 $\eta_1 2^m / (m\sqrt{m}) \leq c_{\infty}(\mathcal{H}_m) \leq \eta_2 2^m / m$，其中 $\eta_1, \eta_2 > 0$ 为常数。
• 下界 $c_{\infty}(G) \geq \frac{tw(G)+1}{\Delta(G)+1}$ 对所有图 $G$ 成立，将警察数与分枝宽和最大度联系起来。