[论文解读] Cops and Robbers, Game Theory and Zermelo's Early Results

Athanasios Kehagias, Georgios Konstantinidis|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Evolutionary Game Theory and Cooperation参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在严格的博弈论框架内形式化了警察与强盗游戏，确立了在警察可获胜图中存在最优策略及有界捕获时间。它将该游戏与策梅洛关于决定性早期工作的研究联系起来，并表明警察与强盗游戏可被约化为可达性游戏，从而通过标准博弈论结果实现无记忆最优策略。

ABSTRACT

We provide a game theoretic framework for the game of cops and robbers (CR). Within this framework we study certain assumptions which underlie the concepts of optimal strategies and capture time. We also point out a connection of these concepts to early work by Zermelo and D. Konig. Finally, we discuss the relationship between CR and related pursuit games to reachability games.

研究动机与目标

• 为警察与强盗游戏提供一个正式的博弈论基础，解决以往文献中对策略和最优性的非形式化处理。
• 强调警察与强盗游戏与策梅洛及D. 康托尔关于决定性及无限博弈的早期工作之间被忽视的联系。
• 在警察与强盗游戏与可达性游戏之间建立正式联系，表明最优策略可从可达性博弈理论中推导而出。
• 证明在警察可获胜图中，警察存在一种无记忆策略，可确保无论强盗如何行动，捕获时间均有界。

提出的方法

• 将警察与强盗游戏建模为两人、零和、无限时域博弈，使用博弈位置、历史记录以及基于有限与无限移动序列定义的策略。
• 为双方玩家定义合法策略与无记忆策略，其中无记忆策略仅依赖于当前位置，而不依赖于历史记录。
• 将捕获时间 T(s_C, s_R) 定义为收益，警察旨在最小化该时间，而强盗旨在最大化该时间。
• 应用博弈论概念，如博弈值、最优策略及最小最大等式，证明在捕获时间有界条件下最优策略的存在性。
• 通过构建移动有向图 M_G 及其扩展 M̅_G，将警察与强盗游戏约化为可达性游戏，其中获胜条件对应于捕获。
• 利用可达性博弈定理5.1，证明双方均存在无记忆获胜策略，并证明有界捕获时间意味着时间最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 警察与强盗游戏在博弈论意义上是否具有最优策略，且此类策略的存在性能否被证明？
• RQ2 警察与强盗游戏中的捕获时间概念如何与策梅洛关于有限及无限博弈决定性的早期成果相联系？
• RQ3 警察与强盗游戏能否被正式约化为可达性游戏，这对策略构建有何影响？
• RQ4 在何种条件下，有界捕获时间的存在性可推出时间最优无记忆策略的存在性？

主要发现

• 对于每个警察可获胜图 G，存在一个与强盗策略无关的有限上界 T̄_G，确保最优策略的存在性。
• 当最优策略 s_C^* 和 s_R^* 存在时，博弈值存在且等于捕获时间 T(s_C^*, s_R^*)，并满足最小最大等式。
• 在警察可获胜图中，双方均存在无记忆最优策略 σ_C^* 和 σ_R^*，其源自可达性博弈框架。
• 当 G 为强盗可获胜时，捕获时间为无穷大，任何警察策略均导致无限时间；因此，所有无记忆警察策略均为时间最优。
• 通过移动有向图 M̅_G，警察与强盗游戏可被约化为可达性游戏，其中警察的目标集合 F 由警察与强盗处于同一位置的状态组成。
• 警察数 c(G) 是最小的 K，使得初始状态 (∅, ∅, C) 属于 K 名玩家可达性博弈的获胜区域 W_0。