[论文解读] Copula-based Hierarchical Aggregation of Correlated Risks. The behaviour of the diversification benefit in Gaussian and Lognormal Trees

Jean-Philippe Bruneton|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2011

Risk and Portfolio Optimization被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于配管（copula）的分层聚合框架，用于使用高斯树和对数正态树对投资组合中的相关风险进行建模。该研究在高斯树中解析推导了分散化效益，表明‘纤细’树（深度更高）始终优于‘肥壮’树（浅层、宽结构），这是由于有效依赖性的自然降低所致，这一现象在更现实的对数正态模型中同样成立。

ABSTRACT

The benefits of diversifying risks are difficult to estimate quantitatively because of the uncertainties in the dependence structure between the risks. Also, the modelling of multidimensional dependencies is a non-trivial task. This paper focuses on one such technique for portfolio aggregation, namely the aggregation of risks within trees, where dependencies are set at each step of the aggregation with the help of some copulas. We define rigorously this procedure and then study extensively the Gaussian Tree of quite arbitrary size and shape, where individual risks are normal, and where the Gaussian copula is used. We derive exact analytical results for the diversification benefit of the Gaussian tree as a function of its shape and of the dependency parameters. Such a "toy-model" of an aggregation tree enables one to understand the basic phenomena's at play while aggregating risks in this way. In particular, it is shown that, for a fixed number of individual risks, "thin" trees diversify better than "fat" trees. Related to this, it is shown that hierarchical trees have the natural tendency to lower the overall dependency with respect to the dependency parameter chosen at each step of the aggregation. We also show that these results hold in more general cases outside the gaussian world, and apply notably to more realistic portfolios (LogNormal trees). We believe that any insurer or reinsurer using such a tool should be aware of these systematic effects, and that this awareness should strongly call for designing trees that adequately fit the business. We finally address the issue of specifying the full joint distribution between the risks. We show that the hierarchical mechanism does not require nor specify the joint distribution, but that the latter can be determined exactly (in the Gaussian case) by adding conditional independence hypotheses between the risks and their sums.

研究动机与目标

• 严格形式化基于配管的分层聚合在树状结构投资组合中的相关风险建模。
• 量化高斯树中分散化效益作为树拓扑结构与依赖参数的函数。
• 研究在分层聚合中结构效应是否系统性地降低整体投资组合的依赖性。
• 将高斯模型中的发现扩展到更现实的对数正态风险模型。
• 澄清在条件独立性假设下，是否能够从分层配管结构中恢复完整的联合分布。

提出的方法

• 通过自顶向下的树分解定义分层聚合，其中在每一层使用配管来建模子投资组合之间的依赖性。
• 使用高斯配管在每一层聚合步骤中建模子投资组合之间的依赖性，假设边缘分布为正态或对数正态。
• 在条件独立性假设下，推导出高斯树中完整联合分布的精确表达式。
• 采用递归协方差分解，基于树中叶子路径的合并路径计算叶子之间的有效相关性。
• 通过树层级的递归方差传播，推导出总方差和分散化效益的解析公式。
• 通过在对数正态树中应用相同的分层配管机制并使用非正态边缘分布，验证了结果在更现实模型中的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在相关风险的情况下，分层聚合树的拓扑结构（例如深度与宽度）如何影响分散化效益？
• RQ2 通过配管进行分层聚合，与直接聚合相比，能在多大程度上降低个体风险之间的有效依赖性？
• RQ3 高斯树中的分散化效益是否依赖于配管参数的选择，且这种依赖性如何受树结构调制？
• RQ4 在条件独立性假设下，是否能够从分层配管聚合中重建风险的完整联合分布？
• RQ5 在高斯树中观察到的结构效应——如纤细树中有效依赖性降低——是否在更现实的对数正态风险模型中依然存在？

主要发现

• 在个体风险数量固定的情况下，‘纤细’树（深度更高、分支因子更低）始终比‘肥壮’树（浅层、高分支结构）实现更大的分散化效益。
• 使用高斯配管的分层聚合由于树的递归结构，即使在每一层使用相同的配管参数，也能自然降低风险之间的有效依赖性。
• 高斯树中的分散化效益具有解析可处理性，且明确依赖于树的形状和配管相关参数，已推导出总方差和风险度量的闭式表达式。
• 同样的结构趋势——纤细树优于肥壮树——在对数正态树中依然成立，表明该效应并非正态性假设的产物，而是分层配管聚合的一般特征。
• 在条件独立性假设下，高斯树中风险的完整联合分布可从分层配管结构和边缘分布中精确恢复。
• 树中两个叶子之间的有效相关性仅取决于其路径首次合并的层级，且已推导出该依赖性的递归公式。