[论文解读] Core entropy of quadratic polymonials

Dzmitry Dudko, Dierk Schleicher|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 10

一句话总结

该论文为二次多项式引入了一种组合定义的核熵，即作为Julia集中分离α固定点与其相反点的前临界点的增长率。证明了核熵在参数和外部角度上是连续的，验证了Tiozzo关于在二进制角度处取得极大值的猜想，并通过Wolf Jung的附录确立了双访问性维数的连续性。

ABSTRACT

We give a combinatorial definition of "core entropy" for quadratic polynomials as the growth exponent of the number of certain precritical points in the Julia set (those that separate the $α$ fixed point from its negative). This notion extends known definitions that work in cases when the polynomial is postcritically finite or when the topology of the Julia set has good properties, and it applies to all quadratic polynomials in the Mandelbrot set. We prove that core entropy is continuous as a function of the complex parameter. In fact, we model the Julia set as an invariant quadratic lamination in the sense of Thurston: this depends on the external angle of a parameter in the boundary of the Mandelbrot set, and one can define core entropy directly from the angle in combinatorial terms. As such, core entropy is continuous as a function of the external angle. Moreover, we prove a conjecture of Giulio Tiozzo about local and global maxima of core entropy as a function of external angles: local maxima are exactly dyadic angles, and the unique global maximum within any wake occurs at the dyadic angle of lowest denominator. We also describe where local minima occur. An appendix by Wolf Jung relates different concepts of core entropy and biaccessibility dimension and thus shows that biaccessibility dimension is continuous as well.

研究动机与目标

• 为Mandelbrot集中所有二次多项式定义核熵，即使Julia集不具备路径连通性或有限Hubbard树。
• 将Thurston的核熵定义扩展至非后临界有限或非局部连通的情形。
• 证明核熵作为复参数和外部角度的函数是连续的。
• 验证Tiozzo关于核熵在外部角度下局部与全局极大值位置的猜想。
• 通过与核熵的关联，建立双访问性维数的连续性，如Wolf Jung的附录所示。

提出的方法

• 将核熵组合定义为Julia集中弧$[\alpha_c, -\alpha_c]$上前临界点的指数增长速率。
• 利用Mandelbrot集边界上参数的外部角度，构建一个二次共形层。
• 通过圆上的角度加倍映射，将动力系统与前临界射线对的增长联系起来。
• 应用Yoccoz定理及特征叶单调性结果，将连续性扩展至非重整化参数。
• 通过公式$\tilde{h}(c) = B_{\text{top}}(c) \cdot \log 2$将前临界点的增长率与Hausdorff维数通过双访问性维数联系起来。
• 通过双访问性参数的逼近和测度论估计（例如，$\mu_b \leq \lim n \cdot V(n) \cdot 2^{-bn}$）来界定双访问性维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以为Mandelbrot集中所有二次多项式，即使Julia集不局部连通，组合地定义核熵？
• RQ2 核熵是否作为复参数$c$的函数是连续的？
• RQ3 Tiozzo猜想中核熵的局部与全局极大值是否精确位于二进制外部角度处？
• RQ4 核熵与双访问性维数有何关系？后者是否连续？
• RQ5 组合定义的核熵是否推广了基于经典Hubbard树的定义？

主要发现

• 核熵被组合地定义为分离$\alpha_c$与$-\alpha_c$的前临界点的增长指数，适用于Mandelbrot集中所有二次多项式。
• 核熵作为复参数$c$和外部角度$\vartheta$的函数是连续的。
• 核熵的局部极大值恰好出现在二进制角度处，且在任意波段中，全局最大值出现在分母最小的二进制角度处。
• 双访问性维数$B_{\text{top}}(c)$在Mandelbrot集$\mathcal{M}$上是连续的，如关系式$\tilde{h}(c) = B_{\text{top}}(c) \cdot \log 2$所示。
• 当$T_c$紧致时，组合定义的核熵与经典Hubbard树熵$h_{\text{top}}(T_c)$一致。
• 证明表明，对所有$c \in \mathcal{M}$，公式$\tilde{h}(c) = B_{\text{top}}(c) \cdot \log 2$成立，将早期结果推广至整个Mandelbrot集。