[论文解读] Coresets Meet EDCS: Algorithms for Matching and Vertex Cover on Massive Graphs

Sepehr Assadi, MohammadHossein Bateni+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Stochastic Gradient Optimization Techniques被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种统一框架，结合随机可组合coreset与边度约束子图（EDCS），在大规模图上实现了最大匹配和最小点覆盖的改进近似算法。该框架首次在单次遍历下实现了(1.5 + ε)-近似比的流式算法，使用次二次空间，并在每台机器上使用次二次内存的两轮MPC算法，显著突破了2-近似比的瓶颈。该方法在O(log log n)轮MPC中实现(1+ε)-近似匹配和O(1)-近似点覆盖，每台机器使用O(n/polylog n)内存。

ABSTRACT

As massive graphs become more prevalent, there is a rapidly growing need for scalable algorithms that solve classical graph problems, such as maximum matching and minimum vertex cover, on large datasets. For massive inputs, several different computational models have been introduced, including the streaming model, the distributed communication model, and the massively parallel computation (MPC) model that is a common abstraction of MapReduce-style computation. In each model, algorithms are analyzed in terms of resources such as space used or rounds of communication needed, in addition to the more traditional approximation ratio. In this paper, we give a single unified approach that yields better approximation algorithms for matching and vertex cover in all these models. The highlights include: * The first one pass, significantly-better-than-2-approximation for matching in random arrival streams that uses subquadratic space, namely a $(1.5+ε)$-approximation streaming algorithm that uses $O(n^{1.5})$ space for constant $ε> 0$. * The first 2-round, better-than-2-approximation for matching in the MPC model that uses subquadratic space per machine, namely a $(1.5+ε)$-approximation algorithm with $O(\sqrt{mn} + n)$ memory per machine for constant $ε> 0$. By building on our unified approach, we further develop parallel algorithms in the MPC model that give a $(1 + ε)$-approximation to matching and an $O(1)$-approximation to vertex cover in only $O(\log\log{n})$ MPC rounds and $O(n/poly\log{(n)})$ memory per machine. These results settle multiple open questions posed in the recent paper of Czumaj~et.al. [STOC 2018].

研究动机与目标

• 解决在空间与通信约束下，为大规模图上的最大匹配与最小点覆盖设计可扩展算法的挑战。
• 突破流式与MPC模型中长期存在的2-近似比瓶颈，该瓶颈长期以来是大规模图处理的根本限制。
• 将两种迥异的技术——随机可组合coreset与EDCS——统一到一个框架中，实现更优的近似比与高效的资源利用。
• 解决MPC模型中的开放问题，特别是实现(1+ε)-近似匹配与O(1)-近似点覆盖，仅需少量轮数且每台机器使用亚线性内存。
• 开发一种对采样与组合具有鲁棒性的通用方法，支持大规模图上的高效并行与流式计算。

提出的方法

• 利用边度约束子图（EDCS）作为大匹配与小点覆盖的稀疏证书，证明其在采样与组合下的结构鲁棒性。
• 通过顶点的k-划分与基于匹配结构的分层构造，提出一种新颖的随机可组合coreset构造方法，实现流式与MPC模型中的高效近似。
• 采用分层图构造方法，使原图中的增广路径对应于源层与汇层之间的顶点不相交路径，从而通过层间顺序匹配实现路径查找。
• 在路径构造过程中应用基于阈值的回溯机制，避免误报，确保以高概率恢复增广路径，同时限制计算开销。
• 通过定理7，将先前算法中的最大匹配子程序替换为O(1)-近似匹配算法，实现在O(log log n)轮内高效实现MPC。
• 通过递归coreset组合与采样，优化MPC中每台机器的内存使用，实现负载均衡并减少所需轮数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能通过单一算法框架，在流式与MPC模型中使用次二次空间，实现最大匹配的优于2-近似比？
• RQ2 EDCS是否可在随机采样与组合下作为匹配与点覆盖的鲁棒稀疏证书，实现可扩展近似？
• RQ3 能否设计一种随机可组合coreset，使其在边或顶点采样下仍保持近似保证，并支持高效的MPC与流式计算？
• RQ4 是否可能将MPC轮数减少至O(log log n)，同时在每台机器使用亚线性内存的前提下，保持匹配的(1+ε)-近似与点覆盖的O(1)-近似？
• RQ5 如何利用分层图中增广路径的结构，设计高效可扩展的算法，避免2-近似比瓶颈？

主要发现

• 该论文首次提出一种单次遍历、使用eO(n^1.5)空间的(1.5 + ε)-近似流式最大匹配算法，在随机到达模型中突破了2-近似比瓶颈。
• 在MPC模型中，该方法仅用2轮即实现(1.5 + ε)-近似最大匹配，每台机器使用eO(√(mn) + n)内存，显著优于先前的2-近似结果。
• 该框架在O(log log n)轮MPC中实现(1+ε)-近似最大匹配与O(1)-近似点覆盖，每台机器使用O(n/polylog n)内存，解决了Czumaj等人（STOC 2018）提出的开放问题。
• 作者证明EDCS是大匹配与小点覆盖的鲁棒稀疏证书，在随机采样与组合下仍保持其结构特性。
• 通过随机顶点划分的分层图构造，以高概率保证：当|M| < (1−ε)·MM(G)时，层间至少存在MM(G) · ε^O(1/ε)条顶点不相交的增广路径。
• 通过将最大匹配子程序替换为O(1)-近似匹配算法，该方法在保持近似质量的同时，实现了在MPC与流式模型中的高效扩展。