[论文解读] Corollaries on the fixpoint completion: studying the stable semantics by means of the Clark completion

Pascal Hitzler|ArXiv.org|Feb 9, 2004

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文建立了稳定模型语义中的Gelfond-Lifschitz算子与逻辑程序的不动点完备化之即时结果算子之间的深度对应关系。通过利用这一算子级等价性，作者推导出关于不动点和基于度量的语义的新结果，并证明Gelfond-Lifschitz算子可被具有S型激活函数的三层前馈神经网络统一逼近，从而实现一阶逻辑程序的神经符号集成。

ABSTRACT

The fixpoint completion fix(P) of a normal logic program P is a program transformation such that the stable models of P are exactly the models of the Clark completion of fix(P). This is well-known and was studied by Dung and Kanchanasut (1989). The correspondence, however, goes much further: The Gelfond-Lifschitz operator of P coincides with the immediate consequence operator of fix(P), as shown by Wendt (2002), and even carries over to standard operators used for characterizing the well-founded and the Kripke-Kleene semantics. We will apply this knowledge to the study of the stable semantics, and this will allow us to almost effortlessly derive new results concerning fixed-point and metric-based semantics, and neural-symbolic integration.

研究动机与目标

• 建立稳定模型语义中Gelfond-Lifschitz算子与逻辑程序不动点完备化之即时结果算子之间的正式对应关系。
• 通过算子级对应关系，将基于Clark完备化的支持模型语义中的已知结果扩展至稳定语义和完美模型语义。
• 通过证明Gelfond-Lifschitz算子可被人工神经网络逼近，实现神经符号集成。
• 为使用Cantor集上的连续函数逼近非单调语义算子提供理论框架。
• 证明Gelfond-Lifschitz算子在Cantor拓扑下的连续性可使其通过此类网络实现一致逼近。

提出的方法

• 将正常逻辑程序P的不动点完备化fix(P)定义为一种变换，其对正文字进行完全展开，并丢弃仍含有正文字的子句。
• 证明P的Gelfond-Lifschitz算子GLP与P的不动点完备化fix(P)的即时结果算子T_fix(P)完全一致。
• 利用同胚ι: IP → C（其中C为Cantor集）将解释嵌入实单位区间，从而转移其拓扑与连续性性质。
• 利用Funahashi [19]的逼近定理，证明Cantor集上的连续函数可被具有S型激活函数的三层前馈神经网络一致逼近。
• 证明若GLP在Cantor拓扑下连续，则其可通过此类网络在整个Cantor集上实现一致逼近。
• 应用算子对应关系，将Hölldobler等人关于单步算子神经网络编码的结果推广至Gelfond-Lifschitz算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过不动点完备化的即时结果算子表征稳定模型语义中的Gelfond-Lifschitz算子？
• RQ2 Gelfond-Lifschitz算子可被神经网络逼近的必要且充分的拓扑条件（如在Cantor拓扑下的连续性）是什么？
• RQ3 基于Clark完备化的支持模型语义中的结果，通过算子对应关系可在多大程度上转移到稳定模型语义？
• RQ4 Gelfond-Lifschitz算子能否被具有S型激活函数的前馈神经网络一致逼近？
• RQ5 不动点完备化框架如何实现对含函数符号的一阶逻辑程序的神经符号集成？

主要发现

• 正常逻辑程序P的Gelfond-Lifschitz算子GLP与其不动点完备化fix(P)的即时结果算子T_fix(P)完全相同。
• P的稳定模型恰好是fix(P)的支持模型，即Clark完备化fix(P)的模型。
• 若Gelfond-Lifschitz算子GLP在Cantor拓扑下连续，则其可被具有S型激活函数的三层前馈神经网络一致逼近。
• 即使在不具连续性的情况下，此类神经网络仍可几乎处处以任意小的误差界逼近Gelfond-Lifschitz算子。
• 算子对应关系使得支持模型语义中的结果可几乎无需额外工作地转移至稳定模型语义。
• 该框架通过将语义算子嵌入Cantor集并利用神经网络逼近，支持含函数符号的一阶逻辑程序的神经符号集成。