[论文解读] Corrected entropy of high dimensional black holes

Tao Zhu, Ji-Rong Ren+1 more|ArXiv.org|Jun 23, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文利用超越半经典的近似方法的隧道效应形式，推导出高维史瓦西黑洞与五维高斯-博内黑洞的修正熵。结果表明，两类黑洞均得到与通用形式 $ S_c = S + \alpha_1\ln S + \sum \frac{\alpha_i}{S^{i-1}} + \text{const} $ 一致的修正熵公式，暗示了在时空维度与引力理论之间存在深刻的普遍性，其中对半经典熵 $ S $ 的对数修正，而非视界面积的对数修正。

ABSTRACT

Using the corrected expression of Hawking temperature derived from the tunneling formalism beyond semiclassical approximation developed by \emph{Banerjee} and \emph{Majhi}\cite{beyond}, we calculate the corrected entropy of a high dimensional Schwarzschild black hole and a 5-dimensional Gauss-Bonnet (GB) black hole. It is shown that the corrected entropy for this two kinds of black hole are in agreement with the corrected entropy formula ( ef{entropy of apparent horiozn}) that derived from tunneling method for a $(n+1)$-dimensional Friedmann-Robertson-Walker (FRW) universe\cite{FRW}. This feature strongly suggests deep universality of the corrected entropy formula ( ef{entropy of apparent horiozn}), which may not depend on the dimensions of spacetime and gravity theories. In addition, the leading order correction of corrected entropy formula always appears as the logarithmic of the semiclassical entropy, rather than the logarithmic of the area of black hole horizon, this might imply that the logarithmic of the semiclassical entropy is more appropriate for quantum correction than the logarithmic of the area.

研究动机与目标

• 探究通过隧道效应形式为弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克宇宙推导出的修正熵公式是否适用于高维黑洞。
• 检验修正熵公式 $ S_c = S + \alpha_1\ln S + \sum \frac{\alpha_i}{S^{i-1}} + \text{const} $ 在高维时空中的普遍性。
• 确定一阶量子修正是否以 $ \ln S $ 形式出现，即半经典熵的对数，而非视界面积的对数 $ \ln A $。
• 检验在非爱因斯坦引力理论（如高斯-博内引力）中，该修正熵公式在高维时空下的有效性。

提出的方法

• 利用巴纳吉与马吉开发的超越半经典近似的隧道效应形式，推导出 (n+1) 维史瓦西黑洞与五维高斯-博内黑洞的修正霍金温度。
• 将修正温度代入半经典热力学第一定律 $ dS_c = \frac{1}{T_c} \delta Q $，以计算修正熵。
• 将作用量按 $ \hbar $ 的幂次展开，并在时空的 (r,t) 区域求解哈密顿-雅可比方程，以提取隧道速率与温度。
• 通过施加微分 $ dS_c $ 的可积性条件，确保熵为状态函数，从而固定温度展开中的系数。
• 将修正温度表示为 $ T_c = T_H \left(1 + \sum_i \frac{\tilde{\alpha}_i}{S^{i}} \right)^{-1} $，从而导出包含 $ S $ 的对数与反幂次修正的修正熵。
• 验证其与弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克宇宙研究中得出的通用修正熵公式 (2) 一致，确认其在低维与爱因斯坦引力之外的黑洞系统中也适用。

实验结果

研究问题

• RQ1 FRW 宇宙中推导出的修正熵公式 $ S_c = S + \alpha_1\ln S + \sum \frac{\alpha_i}{S^{i-1}} + \text{const} $ 是否也适用于高维黑洞？
• RQ2 黑洞熵的一阶量子修正是否与 $ \ln S $（半经典熵的对数）成正比，而非 $ \ln A $（视界面积的对数）？
• RQ3 该修正熵公式在高维时空与非爱因斯坦引力理论（如高斯-博内引力）中是否仍然有效？
• RQ4 超越半经典的隧道效应形式能否一致地为高维黑洞导出一个状态函数形式的熵？

主要发现

• 发现 (n+1) 维史瓦西黑洞的修正熵为 $ S_c = S + \alpha_1\ln S + \sum_{i=2} \frac{\alpha_i}{1-i} \frac{1}{S^{i-1}} + \text{const} $，与通用公式 (2) 一致。
• 对于五维高斯-博内黑洞，其修正熵也呈现为 $ S_c = S_{\texttt{GB}} + \tilde{\alpha}_1\ln S_{\texttt{GB}} + \sum_{i=2} \frac{\tilde{\alpha}_i}{1-i} \frac{1}{S_{\texttt{GB}}^{i-1}} + \text{const} $，证实与通用公式的兼容性。
• 一阶量子修正以 $ \ln S $ 形式出现，而非 $ \ln A $，表明 $ \ln S $ 可能比 $ \ln A $ 更为根本地描述量子修正。
• 修正温度被推导为 $ T_c = T_H \left(1 + \sum_i \frac{\tilde{\alpha}_i}{S^i} \right)^{-1} $，通过可积性条件确保熵为状态函数。
• 结果支持修正熵公式 (2) 在不同引力理论、时空维度与黑洞类型（包括高维与非爱因斯坦情形）中的普遍性。
• 本研究证实，修正熵公式与时空维度及基础引力理论无关，表明其具有深刻的物理普遍性。