[论文解读] Correlated Stochastic Block Models: Exact Graph Matching with Applications to Recovering Communities

Miklós Z. Rácz, Anirudh Sridhar|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2021

Complex Network Analysis Techniques参考文献 66被引用 13

一句话总结

本文研究相关随机块模型（SBMs）中的精确图匹配，以实现从多个相关网络中进行精确社区恢复。在平均度数为对数级的两个相关SBM中，建立了精确顶点对应恢复的信息论阈值，表明即使单图恢复不可能，利用多张图也能实现精确社区检测。

ABSTRACT

We consider the task of learning latent community structure from multiple correlated networks. First, we study the problem of learning the latent vertex correspondence between two edge-correlated stochastic block models, focusing on the regime where the average degree is logarithmic in the number of vertices. We derive the precise information-theoretic threshold for exact recovery: above the threshold there exists an estimator that outputs the true correspondence with probability close to 1, while below it no estimator can recover the true correspondence with probability bounded away from 0. As an application of our results, we show how one can exactly recover the latent communities using multiple correlated graphs in parameter regimes where it is information-theoretically impossible to do so using just a single graph.

研究动机与目标

• 确定两个具有对数平均度数的相关随机块模型（SBMs）之间精确顶点对应恢复的信息论极限。
• 研究当单网络推断不可能时，如何利用多个相关网络来恢复潜在的社区结构。
• 在相关SBM设置中，建立精确恢复顶点对应关系和社区结构的精确阈值。
• 证明结合多个相关图可克服稀疏区域下单图社区检测的根本限制。

提出的方法

• 形式化了两个具有两个对称社区的边相关SBMs之间的精确图匹配问题。
• 分析了平均度数相对于顶点数为对数级的场景，重点关注信息论极限。
• 利用基于似然的估计器和集中不等式，推导出精确顶点对应恢复的严格阈值。
• 通过证明精确对应关系可实现精确社区检测，将图匹配结果应用于社区恢复：当阈值被超越时，可实现精确社区检测。
• 使用耦合论证和分布等价性证明不可能性结果：若阈值低于临界值，则任何估计器都无法以非消失概率恢复真实对应关系。
• 从单个SBM构建合成多层图以模拟多个相关网络，实现向已知单图恢复结果的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平均度数为对数级的两个相关SBMs之间，精确顶点对应恢复的信息论阈值是什么？
• RQ2 在单图恢复不可能的参数区域中，多个相关图是否能实现精确社区恢复？
• RQ3 网络之间的相关性如何影响社区检测和图匹配的根本极限？
• RQ4 在相关SBMs中，确保精确恢复顶点对应关系和社区结构的条件是什么？
• RQ5 是否存在一个根本极限，使得在相关SBMs中，任何估计器都无法以非消失概率恢复真实顶点对应关系？

主要发现

• 本文在两个相关SBMs中建立了精确顶点对应恢复的严格信息论阈值：超过该阈值时，精确恢复以高概率可行；低于该阈值时，任何估计器都无法实现非消失的成功概率。
• 当相关性参数满足 $ s^2(α + β)/2 > 1 $ 时，可实现精确图匹配，从而可从多个相关图中实现精确社区恢复。
• 在单图社区检测在信息论上不可能的参数区域中，通过使用多个相关图，可实现精确社区恢复。
• 精确恢复顶点对应关系的阈值是通过基于似然的估计器和测度集中技术推导得出的。
• 基于反证法的证明表明，若使用多个相关图以非消失概率实现精确社区恢复，则会与已知的单图恢复不可能性结果产生矛盾。
• 从单个SBM构建合成多层图，可将多网络问题约化为单网络设置，从而证明在阈值以下无法实现恢复。