[论文解读] Correlation/Communication complexity of generating bipartite states

Rahul Jain, Yaoyun Shi+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文为生成双量子态的量子与经典关联/通信复杂度建立了紧致的刻画。它表明，纯态的量子关联复杂度被其近似秩的对数紧致界定，而对于经典分布，其复杂度由正定秩刻画，解决了先前关于非负秩与正定秩的开放问题。

ABSTRACT

We study the correlation complexity (or equivalently, the communication complexity) of generating a bipartite quantum state $ρ$. When $ρ$ is a pure state, we completely characterize the complexity for approximately generating $ρ$ by a corresponding approximate rank, closing a gap left in Ambainis, Schulman, Ta-Shma, Vazirani and Wigderson (SIAM Journal on Computing, 32(6):1570-1585, 2003). When $ρ$ is a classical distribution $P(x,y)$, we tightly characterize the complexity of generating $P$ by the psd-rank, a measure recently proposed by Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwary and de Wolf (STOC 2012). We also present a characterization of the complexity of generating a general quantum state $ρ$.

研究动机与目标

• 通过近似秩刻画近似生成，填补纯态量子关联复杂度理解上的空白。
• 利用最近引入的正定（psd）秩，对双概率分布的经典关联复杂度提供紧致刻画。
• 统一并扩展量子与经典设置下双态生成的通信与关联复杂度的先前结果。
• 确立量子通信复杂度等于量子关联复杂度，证实此前归因的事实。

提出的方法

• 将近似量子关联复杂度 $\mbox{\sf{Q}}_{\epsilon}(\rho)$ 定义为能以保真度 $1-\epsilon$ 生成 $\rho$ 的共享量子态的最小尺寸。
• 利用纯化的 S-秩 概念，将态的复杂度与矩阵表示的秩关联起来。
• 通过正定矩阵 $C_x$ 和 $D_y$ 构造经典态 $\rho$ 的纯化，使得 $\mathrm{tr}(C_x D_y) = P(x,y)$，将 $P$ 的正定秩与量子关联复杂度联系起来。
• 利用矩阵分解与迹运算，证明生成 $\rho$ 所需的共享态最小尺寸等于 $\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$（当 $\rho$ 为经典态时）。
• 利用 $\mbox{\sf{QComm}}(\rho) = \mbox{\sf{Q}}(\rho)$ 的事实，统一通信与关联复杂度模型。
• 通过正定矩阵的对偶性与性质，证明任何此类分解的秩至少为 $\mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P)$，从而证明紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 近似生成一个纯双量子态的精确量子关联复杂度是什么？
• RQ2 经典联合分布的正定秩如何与其实质关联复杂度相关？
• RQ3 一个态的量子通信复杂度是否可精确等于其量子关联复杂度？
• RQ4 生成给定双量子态且保真度高的共享量子态的最小尺寸是多少？
• RQ5 正定秩是否是刻画双分布经典关联复杂度的正确度量？

主要发现

• 纯态 $|\psi\rangle\langle\psi|$ 的量子关联复杂度被紧致界定为 $\lceil \log_2 \mathrm{rank}_\epsilon(A) \rceil$，其中 $A$ 为振幅矩阵，$\mathrm{rank}_\epsilon(A)$ 为在 $\ell_2$-范数下与 $A$ $\epsilon$-接近的矩阵的最小秩。
• 对于经典双分布 $P(x,y)$，其经典关联复杂度 $\mbox{\sf{R}}(P)$ 恰好为 $\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$，解决了先前工作中遗留的空白。
• 对于任意双态 $\rho$，量子通信复杂度 $\mbox{\sf{QComm}}(\rho)$ 等于量子关联复杂度 $\mbox{\sf{Q}}(\rho)$，证实了此前归因的事实。
• 任何具有 S-秩 $r$ 的经典态 $\rho$ 的纯化，均导出一个秩至多为 $r$ 的 $P$ 的正定分解，从而证明了复杂度的下界。
• 当 $\rho$ 为经典态时，生成 $\rho$ 所需的共享量子态的最小尺寸恰好为 $\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$。
• 本文通过计算基下密度矩阵的正定秩，对一般量子态的量子关联复杂度给出了完整刻画。