[论文解读] Correlation Decay up to Uniqueness in Spin Systems

Liang Li, Pinyan Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 19被引用 15

一句话总结

本文對最大度數為有界或無界的圖上具有強空間混合性的兩態反鐵磁自旋系統，建立了完整的特徵描述。研究證明，此類圖上的強空間混合性等價於度數不超過Δ的無限正則樹上吉布斯測度的唯一性，進而當此唯一性條件成立時，可建立分割函數的FPTAS。

ABSTRACT

We give a complete characterization of the two-state anti-ferromagnetic spin systems which are of strong spatial mixing on general graphs. We show that a two-state anti-ferromagnetic spin system is of strong spatial mixing on all graphs of maximum degree at most $Δ$ if and only if the system has a unique Gibbs measure on infinite regular trees of degree up to $Δ$, where $Δ$ can be either bounded or unbounded. As a consequence, there exists an FPTAS for the partition function of a two-state anti-ferromagnetic spin system on graphs of maximum degree at most $Δ$ when the uniqueness condition is satisfied on infinite regular trees of degree up to $Δ$. In particular, an FPTAS exists for arbitrary graphs if the uniqueness is satisfied on all infinite regular trees. This covers as special cases all previous algorithmic results for two-state anti-ferromagnetic systems on general-structure graphs. Combining with the FPRAS for two-state ferromagnetic spin systems of Jerrum-Sinclair and Goldberg-Jerrum-Paterson, and the hardness results of Sly-Sun and independently of Galanis-Stefankovic-Vigoda, this gives a complete classification, except at the phase transition boundary, of the approximability of all two-state spin systems, on either degree-bounded families of graphs or family of all graphs.

研究动机与目标

• 特徵描述最大度數至多為Δ的圖上具有強空間混合性的兩態反鐵磁自旋系統。
• 確定此類系統的分割函數存在FPTAS的精確條件。
• 解決一個開放問題：無限d-正則樹上的強空間混合性是否意味著所有最大度數為d的圖上均具有強空間混合性。
• 釐清無限正則樹上的唯一性與一般兩態自旋系統中相關性衰減性質之間的關係。

提出的方法

• 使用Weitz的自避行走樹構造，將有限圖上的相關性衰減與無限樹上的行為聯繫起來。
• 應用計算效率高的相關性衰減框架，在唯一性條件成立時推導出分割函數的FPTAS。
• 採用遞迴比率傳播方法，分析帶有虛擬頂點的樹上自旋分佈，以模擬高degree節點。
• 利用無限d-正則樹上的吉布斯測度唯一性條件，分析兩態自旋系統的參數空間。
• 構造反例，其中γ > 1且λ > λ_c^upper(β,γ)，以反駁樹為最壞情況假設的一般有效性。
• 結合先前在鐵磁系統上的研究成果與難度結果，完成對近似可計算性的完整分類。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，無限d-正則樹上的強空間混合性可推出所有最大度數為d的圖上均具有強空間混合性？
• RQ2 無限正則樹上度數為d的吉布斯測度唯一性，是否為最大度數為d的圖上強空間混合性的必要且充分條件？
• RQ3 當唯一性條件在所有度數至多Δ的d-正則樹上成立時，能否為兩態反鐵磁自旋系統構建分割函數的FPTAS？
• RQ4 從d-正則樹上的強空間混合性推導至所有最大度數為d的圖的推論，是否在所有兩態反鐵磁自旋系統中普遍成立？
• RQ5 單調性在d-正則樹上的唯一性與相關性衰減性質之間的關係中扮演何種角色？

主要发现

• 當且僅當在所有度數d ≤ Δ的無限d-正則樹上均具有唯一吉布斯測度時，兩態反鐵磁自旋系統才會在所有最大度數至多Δ的圖上表現出強空間混合性。
• 當所有度數d ≤ Δ的d-正則樹上唯一性條件成立時，此類系統在最大度數至多Δ的圖上存在分割函數的FPTAS。
• 從無限d-正則樹上的強空間混合性推導至所有最大度數為d的圖上的強空間混合性，僅在約束0 ≤ β, γ ≤ 1下成立，並非普遍成立。
• 對於γ > 1且λ > λ_c^upper(β,γ的系統，其在大d-正則樹上可能唯一，但在小d-正則樹上非唯一，破壞了單調性，從而使一般樹為最壞情況的假設無效。
• 本文透過證明d-正則樹並非所有兩態自旋系統中普遍代表最壞相關性衰減情況，從而推翻了[22]中的猜想。
• 本結果透過整合FPTAS與現有的FPRAS及難度結果，完成了對兩態自旋系統近似可計算性的完整分類，僅在相變邊界處除外。