[论文解读] Correlation Functions of Classical and Quantum Artin System defined on Labachevsky Plane and Scrambling Time

Hrachya M. Babujian, George Savvidy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文通过计算热量子关联函数和时间有序之外的关联函数，研究了双曲Lobachevsky平面上Artin系统的量子混沌。研究展示了两点和四点函数的指数衰减以及平方对易子的指数增长，证实了量子系统中经典混沌的特征，尽管增长速率未达到混沌界限的饱和值。

ABSTRACT

We consider the quantisation of the Artin dynamical system defined on the fundamental region of the modular group. In classical regime the geodesic flow in the fundamental region represents one of the most chaotic dynamical systems, it has mixing of all orders, Lebesgue spectrum and non-zero Kolmogorov entropy. As a result, the classical correlation functions decay exponentially. In order to investigate the influence of the classical chaotic behaviour on the quantum-mechanical properties of the Artin system we calculated the corresponding thermal quantum-mechanical correlation functions. It was conjectured by Maldacena, Shenker and Stanford that the classical chaos can be diagnosed in thermal quantum systems by using an out-of-time-order correlation function as well as the square of the commutator of operators separated in time. We demonstrated that the two- and four-point correlation functions of the Louiville-like operators decay exponentially with a temperature dependent exponent. As conjectured the square of the commutator of the Louiville-like operators separated in time grows exponentially, similar to the exponential divergency of trajectories in the classical regime. The corresponding exponent does not saturate the maximal growth condition.

研究动机与目标

• 研究Artin系统中的经典混沌如何在量子力学关联函数中体现。
• 利用时间有序之外的关联函数检验Maldacena-Shenker-Stanford关于量子混沌的猜想。
• 分析双曲平面上热量子系统中类似Liouville算符的行为。
• 确定该系统的量子对易子增长速率是否达到最大混沌界限。

提出的方法

• 在双曲Lobachevsky平面上模群基本区域上对Artin动力系统进行量子化。
• 计算类似Liouville算符的两点和四点函数的热量子力学关联函数。
• 计算时间分离的类似Liouville算符的平方对易子，以探测量子混沌。
• 分析衰减率与增长率与经典混沌指标（如指数发散和Kolmogorov-Sinai熵）的关系。
• 使用时间有序之外的关联函数形式化方法诊断量子混沌。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类似Artin系统的经典混沌系统中，热量子关联函数的行为如何？
• RQ2 算符的平方对易子在多大程度上随时间呈指数增长，从而反映经典混沌？
• RQ3 该系统中的量子对易子增长速率是否达到最大混沌界限？
• RQ4 关联函数衰减的温度依赖性与经典混合性及熵之间有何关系？

主要发现

• 类似Liouville算符的两点和四点关联函数以温度依赖的指数衰减。
• 时间分离的类似Liouville算符的平方对易子呈指数增长，与经典轨迹的指数发散相对应。
• 对易子增长的指数未达到Maldacena-Shenker-Stanford猜想所预测的最大增长速率界限。
• 结果证实，经典混沌的特征——指数衰减与指数对易子增长——在Artin系统的量子领域中得以保留。