[论文解读] Correlation of sequences and of measures, generic points for joinings and ergodicity of certain cocycles

Jean-Pierre Conze, Tomasz Downarowicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文建立了有界复序列与任意严格遍历序列不相关的判定准则，引入了一套新颖的移位不变测度之间的相关性框架，并证明了在合并结构中通用点的提升引理。核心贡献是针对无理旋转上的四跳上同调的遍历性判定准则，表明与遍历测度不相关的性质严格弱于不相交性，从而解决了Boshernitzan在Sarnak型猜想背景下的一个开放问题。

ABSTRACT

The main subject of the paper, motivated by a question raised by Boshernitzan, is to give criteria for a bounded complex-valued sequence to be uncorrelated to any strictly ergodic sequence. As a tool developed to study this problem we introduce the notion of correlation between two shift-invariant measures supported by the symbolic space with complex symbols. We also prove a "lifting lemma" for generic points: given a joining $\\xi$ of two shift-invariant measures $\\mu$ and $\ u$, every point $x$ generic for $\\mu$ lifts to a pair $(x,y)$ generic for $\\xi$ (such $y$ exists in the full symbolic space). This lemma allows us to translate correlation between bounded sequences to the language of correlation of measures. Finally, to establish that the property of an invariant measure being uncorrelated to any ergodic measure is essentially weaker than the property of being disjoint from any ergodic measure, we develop and apply criteria for ergodicity of four-jump cocycles over irrational rotations. We believe that apart from the applications to studying the notion of correlation, the two developed tools: the lifting lemma and the criteria for ergodicity of four-jump cocycles, are of independent interest. This is why we announce them also in the title. In the Appendix we also introduce the notion of conditional disjointness.

研究动机与目标

• 确定有界复值序列与任意严格遍历序列不相关的条件。
• 为符号空间上具有复符号的移位不变测度之间的相关性，建立测度论框架。
• 证明通用点在合并结构中的提升引理，实现从序列层面相关性到测度层面相关性的转化。
• 通过分析无理旋转上的四跳上同调，厘清不相关性与不相交性之间的区别，揭示遍历理论中的本质差异。
• 引入并应用条件不相交性的概念，特别是在上同调扩张的符号表示中。

提出的方法

• 引入有限复序列块之间的相关性泛函，并通过渐近极限将其推广至无限序列。
• 使用同一泛函定义符号空间上两个移位不变测度之间的相关性，实现测度论分析。
• 证明提升引理：对于任意测度μ与ν的合并ξ，μ的每个通用点x均可提升为ξ的通用对(x,y)。
• 构造并分析无理旋转上的四跳上同调，基于某些β_J函数在所有相关时间位移与群元素上的消失，推导其遍历性的判定准则。
• 利用给定因子σ代数的条件不相交性，推导出与所有遍历测度不相关的结论，尤其适用于有限群值上同调的扩张。
• 应用提升引理与遍历性准则，证明与所有遍历测度不相关严格弱于不相交性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有界复序列与所有严格遍历序列不相关？
• RQ2 序列之间的相关性如何与它们对应不变测度之间的相关性相关联？
• RQ3 合并结构中通用点的提升引理是否可用于将序列层面的相关性性质转移到测度层面？
• RQ4 四跳上同调在无理旋转上的遍历性需要满足何种条件？
• RQ5 测度与所有遍历测度不相关与测度与之不相交之间是否存在结构性差异？

主要发现

• 提升引理保证：对于任意测度μ与ν的合并ξ，μ的每个通用点x均可提升为ξ的通用对(x,y)，确保通用性在合并操作下保持不变。
• 在测度论相关性框架下，有界序列与任意严格遍历序列不相关，当且仅当其对应的不变测度与所有遍历测度不相关。
• 无理旋转上四跳上同调的遍历性等价于所有相关时间位移与群元素下某些β_J函数的消失。
• 存在与所有遍历测度不相关的不变测度，但它们并不与之不相交，从而证明不相关性严格弱于不相交性。
• 给定上同调扩张的基因子下，条件不相交性蕴含与所有遍历测度不相关，尤其当首符号函数具有条件均值零时更显著。