[论文解读] Correlation structure of time-changed fractional Brownian motion

Jebessa B. Mijena|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文推导了时间改变的分数布朗运动（fBm）的显式相关结构，其中fBm被依附于一个倒向子ordinator。通过拉普拉斯变换和广义Mittag-Leffler函数，建立了协方差和相关函数的精确表达式，并推导了长时间和短时间极限下的渐近行为，特别针对温和稳定和反α-稳定子ordinator。

ABSTRACT

Fractional Brownian motion (fBm) is a centered self-similar Gaussian process with stationary increments, which depends on a parameter $H \in (0, 1)$ called the Hurst index. The use of time-changed processes in modeling often requires the knowledge of their second order properties such as covariance function. This paper provides the explicit expression for the correlation structure for time-changed fractional Brownian motion. Several examples useful in applications are discussed.

研究动机与目标

• 推导fBm被依附于倒向子ordinator的时间改变fBm的精确相关函数。
• 表征由此产生的非马氏、非高斯过程的二阶性质——特别是协方差和相关性。
• 分析当时间趋于零和无穷大时，相关函数的渐近行为，特别针对反α-稳定和温和稳定子ordinator。
• 使用广义Mittag-Leffler函数和拉普拉斯变换技术，提供适用于现实世界随机建模的显式公式。
• 将现有关于依附布朗运动的结果扩展到更广泛的自相似、长程依赖fBm过程类别。

提出的方法

• 使用fBm关于标准布朗运动的随机积分表示，并通过倒向子ordinator $Y(t)$ 实现时间改变，定义 $Z(t) = B_H(Y(t))$。
• 应用倒向子ordinator分布的拉普拉斯变换，利用公式 $\mathbb{E}[Z(t)Z(s)] = \frac{\sigma^2}{2} \left( U^{2H}(s) + U^{2H}(t) - U^{2H}(|t-s|) \right)$ 推导协方差函数 $\mathbb{E}[Z(t)Z(s)]$，其中 $U(t) = \mathbb{E}[Y(t)]$。
• 使用广义Mittag-Leffler函数 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z)$ 表达反α-稳定和温和稳定子ordinator的更新函数 $U(t)$。
• 应用Karamata Tauberian定理，推导 $U(t)$ 在 $t \to \infty$ 和 $t \to 0$ 时的渐近行为。
• 利用 $U^{2H}(t)$ 的拉普拉斯变换以及协方差的卷积结构，推导长时间相关性的渐近行为。
• 推导当 $t \to \infty$ 时，$0 < s \leq t$ 的相关函数 $\mathrm{corr}(Z(t), Z(s))$，显示其以指数 $1-H$ 的幂律衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 当fBm被依附于倒向子ordinator时，时间改变fBm的相关函数的精确形式是什么？
• RQ2 对于反α-稳定和温和稳定子ordinator，当时间 $t \to \infty$ 时，相关结构的渐近行为如何？
• RQ3 相关函数的小时间行为是什么？它如何依赖于Hurst指数 $H$ 和子ordinator参数？
• RQ4 时间改变过程的二阶性质（协方差和方差）如何依赖于子ordinator的拉普拉斯指数？
• RQ5 对于温和稳定子ordinator，相关衰减速率能否在 $H$、$\alpha$ 和 $a$ 的基础上进行解析表征？

主要发现

• 时间改变fBm的协方差函数为 $\mathbb{E}[Z(t)Z(s)] = \frac{\sigma^2}{2} \left( U^{2H}(s) + U^{2H}(t) - U^{2H}(|t-s|) \right)$，其中 $U(t) = \mathbb{E}[Y(t)]$ 是倒向子ordinator的更新函数。
• 对于反α-稳定子ordinator，$U(t) = \frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}$，且当 $t \to 0$ 时，$Z(t)$ 的方差行为为 $\mathrm{Var}(Z(t)) \sim \frac{\sigma^2 t^{2H\alpha}}{\Gamma(1+2H\alpha)}$。
• 当 $t \to \infty$ 时，$Z(t)$ 的方差以 $\mathrm{Var}(Z(t)) \sim \frac{\sigma^2}{\alpha^{2H} a^{2H(\alpha-1)}} t^{2H}$ 的形式增长，适用于温和稳定子ordinator。
• 当 $0 < s \leq t$ 且 $t \to \infty$ 时，相关性 $\mathrm{corr}(Z(t), Z(s))$ 衰减为 $\sim \frac{1}{2} \left( \alpha^H a^{(\alpha-1)H} \frac{\sqrt{U^{2H}(s)}}{t^H} + \frac{2H \alpha^{1-H} a^{(\alpha-1)(1-H)} U(s)}{\sqrt{U^{2H}(s)}} \frac{1}{t^{1-H}} \right)$，显示以指数 $1-H$ 的幂律衰减。
• 当 $H = 1/2$ 时，相关性在 $t \to \infty$ 时的行为为 $\sim \frac{s^{\alpha/2}}{\sqrt{\Gamma(1+\alpha) U(t)}}$，表明当 $\alpha < 1$ 时衰减缓慢。
• 当 $H > 1/2$ 时，相关函数表现出长程依赖性，且在长时间极限下，其衰减速率慢于任何 $t^{-\gamma}$（$\gamma > 0$）。