[论文解读] Correlations with tailored extremal properties

Sky Cao, Peter J. Bickel|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用 17

一句话总结

本文提出了一种新的相关性度量，通过在变量之间的函数关系上施加形状限制（特别是单调性）来推广Chatterjee的相关性。它建立了该单调相关性估计量的渐近性质和局部功效，并证明在光滑性假设下可实现最优局部功效，同时将其与现有方法（如Chatterjee和Dette等人）的相关性进行了比较。

ABSTRACT

Recently, Chatterjee has introduced a new coefficient of correlation which has several natural properties. In particular, the coefficient attains its maximal value if and only if one variable is a measurable function of the other variable. In this paper, we seek to define correlations which have a similar property, except now the measurable function must belong to a pre-specified class, which amounts to a shape restriction on the function. We will then look specifically at the correlation corresponding to the class of monotone nondecreasing functions, in which case we can prove various asymptotic results, as well as perform local power calculations.

研究动机与目标

• 通过引入形状限制（如单调性）来扩展Chatterjee相关系数，以更好地反映数据中的函数关系。
• 开发一种相关性度量，使其最大值仅在响应变量是预测变量的单调非减函数时达到，且在预设的函数类中成立。
• 建立在独立性原假设下，所提估计量的渐近分布和局部功效性质。
• 比较新提出的单调相关性与Chatterjee原始相关性和Dette等人早期方法的局部功效表现。
• 在半参数模型中研究新相关性度量的理论最优性，其得分函数源自基于秩的统计量。

提出的方法

• 提出一种总体相关性度量 $ C_{\text{mono}}(X,Y) $，通过将函数依赖关系限制为单调非减函数，从而推广Chatterjee的 $ C $。
• 基于秩和保序回归定义经验估计量 $ \tilde{C}_n $，采用Chatterjee原始估计量的结构，但通过保序最小二乘法进行调整以强制实现单调性。
• 应用包含局部替代子模型的半参数模型，推导原假设和局部替代下检验的渐近分布。
• 利用局部参数子模型的得分函数计算局部功效，利用得分与模型中干扰参数正交的性质。
• 推导原假设下检验统计量的渐近方差，并在局部替代下计算非非中心化参数，以评估局部功效。
• 在相同的局部渐近框架下，比较新单调相关性与Chatterjee和Dette等人相关性的局部功效，表明在光滑性假设下新方法具有更高的功效。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种相关性度量，使其最大值仅在 $ Y $ 是 $ X $ 的单调非减函数时达到，且在预设的函数类中成立？
• RQ2 在独立性原假设下，该新单调相关性经验估计量的渐近性质是什么？
• RQ3 在局部替代下，新单调相关性的局部功效与Chatterjee和Dette等人相关性相比如何？
• RQ4 在何种正则性条件下，新相关性在半参数模型中可实现最优局部功效？
• RQ5 尽管Chatterjee和Dette等人相关性在其他方面是最优的，为何其局部功效表现较差？

主要发现

• 所提出的单调相关性估计量 $ \tilde{C}_n $ 在独立性原假设下渐近服从正态分布，其极限方差可被一致估计。
• 在真实函数 $ h $ 具有光滑性假设的条件下，新相关性的局部功效严格高于Chatterjee的 $ \tilde{C}_n $ 和Dette等人 $ \hat{r}_n $，原因在于形状限制。
• 当真实函数 $ h $ 光滑且单调时，新估计量的渐近局部功效达到最大，表明该方法在此类函数中是最优的。
• 新相关性最不利子模型的得分函数与经验过程正交，从而可实现局部功效的精确计算。
• 论文证明，在Chatterjee的 $ \tilde{C}_n $ 的最不利子模型下 $ \rho^2 = 0 $，表明其局部功效较差，而新方法在相同条件下可实现 $ \rho^2 > 0 $。
• 作者推测，Chatterjee和Dette等人相关性局部功效表现差的原因在于，其在 $ C=1 $ 时仅在 $ Y = g(X) $ 几乎必然成立时达到最大值，即使 $ g $ 不连续，而新单调估计量不具有此特性。