[论文解读] Correlators in simultaneous measurement of non-commuting qubit observables

Juan Atalaya, Shay Hacohen-Gourgy+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用 5

一句话总结

本文利用量子贝叶斯理论，推导出对非对易量子比特可观测量（$ olimits\sigma_z$ 和 $ olimits\sigma_\varphi$）进行连续同时测量时输出信号的时间关联函数的解析表达式。关联函数与实验数据高度吻合，并可用于高灵敏度参数估计，包括检测由于校准不准确导致的微小剩余量子比特哈密顿量。

ABSTRACT

We consider the simultaneous and continuous measurement of qubit observables $σ_z$ and $σ_z\cosφ+ σ_x\sinφ$, focusing on the temporal correlations of the two output signals. Using quantum Bayesian theory, we derive analytical expressions for the correlators, which we find to be in very good agreement with experimentally measured output signals. We further discuss how the correlators can be applied to parameter estimation, and use them to infer a small residual qubit Hamiltonian arising from calibration inaccuracy in the experimental data.

研究动机与目标

• 开发用于非对易量子比特可观测量连续同时测量中时间关联性的理论框架。
• 推导出测量 $ olimits\sigma_z$ 和 $ olimits\sigma_\varphi$ 的两个线性探测器输出信号的关联函数的解析表达式。
• 利用超导量子比特实验设置的数据，对理论模型进行验证。
• 展示关联函数在高灵敏度参数估计中的实用性，包括对剩余量子比特哈密顿量的检测。
• 探讨测量反作用和非理想性对信号关联函数形状的影响。

提出的方法

• 利用量子贝叶斯理论，对连续测量下量子比特密度矩阵的随机演化进行建模。
• 将探测器输出信号建模为 $I_z(t) = \text{Tr}[\sigma_z \rho(t)] + \sqrt{\tau_z} \xi_z(t)$ 和 $I_\varphi(t) = \text{Tr}[\sigma_\varphi \rho(t)] + \sqrt{\tau_\varphi} \xi_\varphi(t)$，其中噪声为不相关、白噪声且服从高斯分布。
• 利用马尔可夫近似和布洛赫球表示法，推导出两时间关联函数 $K_{ij}(\tau) = \langle I_i(t) I_j(t+\tau) \rangle$ 的解析表达式。
• 考虑测量反作用以及有限放大器带宽和残余噪声源等非理想性。
• 通过拟合关联函数的形状，利用推导出的关联函数从实验数据中反推出微小的剩余量子比特哈密顿量。
• 在小-$\tau$ 区域（非理想效应显现处）将理论预测与实验数据进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对非对易量子比特可观测量进行连续同时测量时，输出信号的时间关联函数行为如何？
• RQ2 能否利用量子贝叶斯理论推导出信号关联函数的解析表达式，并与实验数据匹配？
• RQ3 有限放大器带宽或残余噪声等非理想性在多大程度上影响测量到的关联函数？
• RQ4 关联函数能否用于估计微小的、未被考虑的参数（如剩余量子比特哈密顿量）？
• RQ5 为何实验关联函数在小 $\tau$ 时表现出指数衰减，而理想理论预测的噪声应为狄拉克函数相关？

主要发现

• 推导出的 $I_z(t)$ 和 $I_\varphi(t)$ 的解析关联函数与实验数据高度一致，验证了理论模型的有效性。
• 自关联函数 $K_{ii}(\tau)$ 在小 $\tau$ 时表现出主导的 $e^{-\kappa\tau/2}\cos(\Delta\omega\tau)$ 依赖关系，其来源为放大器带宽效应。
• 预测了来自量子比特扩散或热噪声的非理想贡献 $\sim (\Gamma/\kappa_i) e^{-\kappa_i\tau/2}$，但由于 $\Gamma/\kappa_i \ll 1$，实验中可忽略不计。
• 实验数据显示在小 $\tau$ 时存在微小的指数贡献，其根源为放大器带宽，而非本征量子噪声；理想极限下本征量子噪声为狄拉克函数相关。
• 关联函数成功地从校准不准确中反推出微小的剩余量子比特哈密顿量，证明了其在高精度参数估计中的实用性。
• 理想情况下指数项的理论抵消解释了理想模型中此类特征的缺失，而非理想性破坏了这种抵消。