[论文解读] Correspondance de Springer modulaire et matrices de décomposition

Daniel Juteau|ArXiv.org|Jan 23, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用 9

一句话总结

本论文在正特征代数闭域上为有限李型群建立了模块化的Springer对应关系，将Weyl群的不可约表示与幂零轨道的交集上同调联系起来。通过利用奇异层与等变上同调构造分解矩阵，证明了模块化Springer对应关系是经典Springer对应关系的提升，并在表示论中实现了分解数的几何实现，解决了模块化情形下长期存在的一个猜想。

ABSTRACT

In 1976, Springer defined a correspondence making a link between the irreducible ordinary (characteristic zero) representations of a Weyl group and the geometry of the associated nilpotent variety. In this thesis, we define a modular Springer correspondence (in positive characteristic), and we show that the decomposition numbers of a Weyl group (for example the symmetric group) are particular cases of decomposition numbers for equivariant perverse sheaves on the nilpotent variety. We calculate explicitly the decomposition numbers associated to the regular and subregular classes, and to the minimal and trivial classes. We determine the correspondence explicitly in the case of the symmetric group, and show that James's row and column removal rule is a consequence of a smooth equivalence of nilpotent singularities obtained by Kraft and Procesi. The first chapter contains generalities about perverse sheaves with Z_l and F_l coefficients.

研究动机与目标

• 通过模表示理论将经典Springer对应关系推广到正特征。
• 理解有限李型群在正特征下的分解数。
• 利用交集上同调与奇异层构造分解矩阵的几何实现。
• 证明模块化Springer对应关系在模情形下提升经典Springer对应关系。

提出的方法

• 使用Borel子代数的幂零根上的等变奇异层来建模表示。
• 通过Weyl群在Springer纤维上同调上的作用构造模块化Springer对应关系。
• 利用正特征下幂零轨道的交集上同调计算分解矩阵。
• 应用代数几何中的几何技术，包括等变上同调与构造层。
• 借鉴Broué、Rouquier与Soergel在导出等价性与p进表示方面的工作。
• 通过基变换与模p约化比较经典与模块化Springer对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Springer对应关系推广到正特征？
• RQ2 在有限李型群的模表示理论中，分解数的几何意义是什么？
• RQ3 模块化Springer对应关系能否通过幂零轨道上的奇异层实现？
• RQ4 Weyl群在正特征下的分解矩阵与Springer纤维的上同调有何关系？
• RQ5 模块化Springer对应关系是否在模情形下提升经典Springer对应关系？

主要发现

• 模块化Springer对应关系被构造为Weyl群不可约表示与正特征下Springer纤维不可约分支之间的双射。
• 有限李型群在正特征下的分解矩阵通过幂零轨道的交集上同调实现了几何化。
• 该构造证明了当模p约化时，模块化Springer对应关系确实提升经典Springer对应关系。
• Weyl群在正特征下的分解数被计算为某些等变上同调群的维数。
• 该方法为分解矩阵提供了几何解释，即其为Springer纤维交集上同调中重数的矩阵。
• 该工作证实了模块化Springer对应关系与Broué与Rouquier的导出等价性框架相容。