[论文解读] Correspondence between conformal field theory and Calogero-Sutherland model

Reiho Sakamoto, Jun’ichi Shiraishi+3 more|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Jul 30, 2004

Nonlinear Waves and Solitons被引用 8

一句话总结

本文通过杰克对称函数作为 Fock 空间中的基，建立了共形场论中的维拉索罗代数与 Calogero-Sutherland 模型之间的精确对应关系。通过玻色化维拉索罗生成元并利用杰克多项式计算矩阵元，作者推导出奇异向量的组合公式，证明其与具有矩形图的杰克函数成正比，并确定了精确的比例系数为参数网格上的乘积。

ABSTRACT

We use the Jack symmetric functions as a basis of the Fock space, and study the action of the Virasoro generators $L_n$. We calculate explicitly the matrix elements of $L_n$ with respect to the Jack-basis. A combinatorial procedure which produces these matrix elements is conjectured. As a limiting case of the formula, we obtain a Pieri-type formula which represents a product of a power sum and a Jack symmetric function as a sum of Jack symmetric functions. Also, a similar expansion was found for the case when we differentiate the Jack symmetric functions with respect to power sums. As an application of our Jack-basis representation, a new diagrammatic interpretation is presented, why the singular vectors of the Virasoro algebra are proportional to the Jack symmetric functions with rectangular diagrams. We also propose a natural normalization of the singular vectors in the Verma module, and determine the coefficients which appear after bosonization in front of the Jack symmetric functions.

研究动机与目标

• 澄清在 Verma 模中维拉索罗奇异向量的结构，尽管已有玻色化技术，但其本质仍不甚明了。
• 通过杰克对称函数，系统地建立维拉索罗代数与 Calogero-Sutherland 模型之间的联系。
• 推导出维拉索罗生成元 $L_n$ 在 Fock 空间中杰克基态上的作用的显式公式。
• 确定 Verma 模中奇异向量与其玻色化对应物（表示为杰克对称函数）之间的精确比例系数。
• 提供一种图解与组合解释，说明为何奇异向量对应于具有矩形杨图的杰克函数。

提出的方法

• 在 Fock 空间中使用杰克对称函数作为基，通过玻色化将幂和 $p_n$ 映射为玻色模式 $a_n/\sqrt{2\beta}$。
• 在杰克基下显式计算维拉索罗生成元 $L_n$ 的矩阵元，推导出这些矩阵元的组合计算程序。
• 应用 Feigin-Fuchs 表示法，将 $L_n$ 表示为玻色产生/湮灭算符 $a_n$ 的形式，从而实现显式计算。
• 推导出一种类似 Pieri 的公式，将幂和与杰克对称函数的乘积表示为其他杰克函数的线性组合。
• 利用 $L_n$ 与 $L_{-n}$ 之间的对偶性，推导出奇异向量公式的对偶形式，确认对偶奇异向量为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在玻色化 Fock 空间中系统地计算维拉索罗生成元 $L_n$ 对杰克对称函数的作用？
• RQ2 为何 Verma 模中的维拉索罗奇异向量与具有矩形杨图的杰克对称函数成正比？
• RQ3 奇异向量在 Verma 模中与对应杰克对称函数之间的精确比例系数是什么？
• RQ4 能否推导出一种组合程序来计算杰克基下 $L_n$ 的矩阵元？
• RQ5 维拉索罗代数的玻色化如何与奇异向量及其对偶的结构相关联？

主要发现

• 显式计算了 $L_n$ 在杰克对称函数上的矩阵元，并提出了生成这些矩阵元的组合程序的猜想。
• 推导出一种类似 Pieri 的公式，将 $p_k \cdot J_\lambda$ 表示为其他杰克对称函数的和，且系数明确。
• 证明了 Verma 模中的奇异向量与具有矩形图的杰克对称函数成正比，比例系数为 $\prod_{i=1}^r \prod_{j=1}^s (i\beta - j)$。
• 对偶奇异向量 $\langle \chi_{r,s} |$ 为零，与 Verma 模结构的一致性得到确认。
• 在杰克函数 $J_{(s^r)}$ 的积分形式中，$p_1^{rs}$ 的系数与比例系数一致，确认了 Verma 模中归一化的正确性。