[论文解读] Correspondence between non-Hermitian topology and directional amplification in the presence of disorder

Wanjura, Clara C., Brunelli, Matteo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2020

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 68

一句话总结

该论文证明，即使在任意强的局域无序条件下，非厄米（NH）拓扑定向放大在驱动-耗散腔阵列中依然保持鲁棒性。通过推导散射矩阵元的解析界，证明了指数级前向增益与指数级反向增益抑制——非厄米拓扑的特征——在系统尺寸增大时依然存在，确认尽管存在无序，拓扑对应关系仍被保留。

ABSTRACT

In order for non-Hermitian (NH) topological effects to be relevant for practical applications, it is necessary to study disordered systems. In the absence of disorder, certain driven-dissipative cavity arrays with engineered non-local dissipation display directional amplification when associated with a non-trivial winding number of the NH dynamic matrix. In this work, we show analytically that the correspondence between NH topology and directional amplification holds even in the presence of disorder. When a system with non-trivial topology is tuned close to the exceptional point, perfect non-reciprocity (quantified by a vanishing reverse gain) is preserved for arbitrarily strong on-site disorder. For bounded disorder, we derive simple bounds for the probability distribution of the scattering matrix elements. These bounds show that the essential features associated with non-trivial NH topology, namely that the end-to-end forward (reverse) gain grows (is suppressed) exponentially with system size, are preserved in disordered systems. NH topology in cavity arrays is robust and can thus be exploited for practical applications.

研究动机与目标

• 本研究旨在确定非厄米（NH）拓扑放大在存在无序时是否依然稳定。
• 问题在于，尽管非厄米拓扑在应用中前景广阔，但实际系统不可避免地含有无序，而其对拓扑输运的影响尚不明确。
• 本研究目标是将非厄米拓扑与定向放大之间的对应关系扩展至无序系统。
• 研究聚焦于无序如何影响散射矩阵，特别是端到端的前向与反向增益。
• 目标是证明：与系统尺寸成指数关系的增益尺度——拓扑鲁棒性的关键——在无序条件下依然成立。

提出的方法

• 作者建立了一个具有工程化非局域耗散和局域无序的1D驱动-耗散腔阵列模型。
• 通过引入复数i.i.d.随机变量ξj（用于衰减率和腔频率）来刻画无序，推导出腔振幅的动力学方程。
• 通过散射矩阵S(ω) = 1 + γM⁻¹(ω)分析系统的输运行为，其中M(ω)为动力学矩阵。
• 在无序具有紧支撑的假设下，推导出散射矩阵元（特别是端到端增益）的概率分布的解析界。
• 通过将响应矩阵χ分解为无序自由部分与无序扰动部分，利用级数展开与矩阵求逆技术实现推导。
• 区分了速率无序（ξj的实部）与频率无序（ξj的虚部），并揭示其对增益分布与相位的不同影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强局域无序存在下，非非厄米拓扑与定向放大的对应关系是否依然成立？
• RQ2 当引入无序时，前向增益的指数级增长与反向增益的抑制是否仍能保持？
• RQ3 速率无序与频率无序如何差异化地影响散射矩阵元的分布？
• RQ4 在热力学极限（N → ∞）下，定向放大的拓扑特性是否依然鲁棒？
• RQ5 在有界无序条件下，散射矩阵元的概率分布的解析界是什么？

主要发现

• 即使在任意强的局域无序下，非厄米拓扑与定向放大的对应关系依然保持。
• 当系统调谐至非简并点附近时，无论无序类型与强度如何，完美非互易性（通过反向增益趋近于零量化）均被维持。
• 散射矩阵元的界被解析推导得出，且仅依赖于无序的紧支撑性质。
• 前向增益随系统尺寸的指数级增长被保留，因为增益的下界随N指数增长。
• 反向增益随系统尺寸指数抑制，确保在无序系统中仍保持定向放大。
• 速率无序与频率无序的差异可从几何角度解释：速率无序主要影响增益幅度而引起最小相位偏移，而频率无序则更强烈地影响相位，但对增益幅度影响甚微。