[论文解读] Corrigendum: On subadditivity of the logarithmic Kodaira dimension

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文修正了藤野2017年关于对数Kodaira维数次可加性的论文中的一个缺陷，该缺陷源于错误地假设所有拟有效ℝ-除子均有 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$。利用莱西特雷的反例，作者证明即使该等式不成立，稍弱的不等式依然成立，且足以支持关键应用，包括伊达卡的次可加性猜想与推广的丰沛性猜想。修正后的不等式仍能保持文献中推论1.5与1.6及相关结果的有效性。

ABSTRACT

John Lesieutre constructed an example satisfying $κ_σ e κ_ν$. This says that the proof of the inequalities in Theorems 1.3, 1.9, and Remark 3.8 in [O. Fujino, On subadditivity of the logarithmic Kodaira dimension, J. Math. Soc. Japan 69 (2017), no. 4, 1565--1581] is insufficient. We claim that some weaker inequalities still hold true and they are sufficient for various applications.

研究动机与目标

• 解决藤野2017年关于对数Kodaira维数次可加性的证明中的漏洞，该证明依赖于对所有拟有效ℝ-除子均有 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 的错误假设。
• 回应约翰·莱西特雷的反例，该反例表明在光滑射影三叉和ℝ-除子 $D$ 上有 $\kappa_{\sigma}(D) = 1$ 且 $\kappa_{\nu}(D) = 2$，从而否定了原始证明。
• 证明藤野（2017）定理1.3与1.9中所用的稍弱不等式依然成立，且足以支持主要应用，包括伊达卡的次可加性猜想。
• 通过证明较弱的不等式足以支撑其证明，从而重申文献中相关结果（如桥本与工野-莱曼）的有效性。
• 提出猜想1.4，即 $h^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ 关于 $\kappa_{\sigma}(X,D)$ 具有多项式增长界，若该猜想成立，将恢复原始不等式。

提出的方法

• 利用莱西特雷的反例，证明等式 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 并非普遍成立，从而否定 [Fujino 2017, 定理1.3] 的原始证明。
• 通过中谷的数值维数理论与整体截面的渐近行为，重建定理1.3与1.9中的不等式，避免依赖于错误的 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 假设。
• 应用 [Nakayama, 第五章, 3.7定理] 推导出较弱但充分的不等式：$\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa_{\sigma}(F,K_F+D_X|_F) + \kappa(Y,K_Y+D_Y)$ 与 $\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa(F,K_F+D_X|_F) + \kappa_{\sigma}(Y,K_Y+D_Y)$。
• 证明通过相同方法导出的较弱不等式 (3.3) 与 (3.4) 足够支持 [DHP, 注记2.6] 与 [GL, 定理4.3] 的证明，尽管原始不等式 (3.1) 失效。
• 利用 $\limsup f(m) > 0$ 与 $\limsup g(m) > 0$ 并不蕴含 $\limsup f(m)g(m) > 0$ 的观察，解释为何原始证明失败，以及为何需要较弱的界。
• 提出猜想1.4，即对充分大的 $m$，有 $C m^{\kappa_{\sigma}(X,D)} \leq \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ 的多项式下界，若该猜想成立，将恢复原始不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对ℝ-除子而言，$\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 的失败是否否定了藤野（2017）关于对数Kodaira维数次可加性的主要结果？
• RQ2 是否可以使用比藤野（2017）定理1.3与1.9中更弱的不等式，仍足以支持关键应用，如伊达卡的次可加性猜想？
• RQ3 不等式 $\kappa_{\sigma}(D + f^*Q) \geq \kappa_{\sigma}(D;X/Y) + \kappa(Q)$ 与 $\kappa_{\sigma}(D + f^*Q) \geq \kappa(D;X/Y) + \kappa_{\sigma}(Q)$ 是否足以保持 [DHP, 注记2.6] 与 [GL, 定理4.3] 的有效性？
• RQ4 能否在不假设 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 的前提下，通过其他整体截面的渐近估计修复 [Fujino 2017, 定理1.3] 的原始证明？
• RQ5 猜想1.4是否成立？该猜想断言 $h^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ 具有多项式下界，若其成立，是否能恢复原始不等式？

主要发现

• 藤野（2017）定理1.3与1.9的原始证明因依赖于对所有拟有效ℝ-除子均有 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 的错误假设而无效。
• 莱西特雷的例子提供了一个光滑射影三叉 $X$ 与一个拟有效ℝ-除子 $D$，使得 $\kappa_{\sigma}(D) = 1$ 且 $\kappa_{\nu}(D) = 2$，从而证明 $\kappa_{\sigma} \ne \kappa_{\nu}$ 在一般情况下不成立。
• 比定理1.3与1.9中更弱的不等式仍然成立：$\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa_{\sigma}(F,K_F+D_X|_F) + \kappa(Y,K_Y+D_Y)$ 与 $\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa(F,K_F+D_X|_F) + \kappa_{\sigma}(Y,K_Y+D_Y)$，其中 $F$ 为一般纤维。
• 这些较弱的不等式足以支持 [Fujino 2017, 推论1.5与1.6]，从而保留了原始论文的主要应用。
• 通过中谷理论与 [Nakayama, 第五章, 3.7定理] 导出的不等式 (3.3) 与 (3.4) 足够支持 [DHP, 注记2.6] 与 [GL, 定理4.3] 的证明，尽管原始不等式 (3.1) 失效。
• 猜想1.4仍为开放问题：若其成立，将蕴含对充分大的 $m$ 有 $C m^{\kappa_{\sigma}(X,D)} \leq \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$，从而恢复原始不等式。