[论文解读] Corrigendum to the paper, "A new iteration process for approximation of common fixed points for finite families of total asymtotically nonexpansive mappings". Int. J. Math. Math. Sci. vol. 2009, doi:10.1155/2009/615107

C.E. Chidume, Eric U. Ofoedu|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2010

Optimization and Variational Analysis参考文献 6被引用 9

一句话总结

此勘误更正了先前关于有限个总体渐近非扩张映射族的公共不动点迭代逼近论文中定理3.5证明中的缺陷。通过利用紧致性及一致凸巴拿赫空间的性质，该文在更弱条件下建立了迭代序列强收敛于公共不动点的结果——消除了对一致连续性的依赖。

ABSTRACT

A gap in the proof of Theorem 3.5 in the paper ``A new iteration process for approximation of common fixed points for finite families of total asymtotically nonexpansive mappings". Int. J. Math. Math. Sci. vol. 2009, doi:10.1155/2009/615107" is observed. The argument used on page 11, starting from line 8 from bottom to the end of the proof of the theorem is not correct. In this corrigendum, it is our aim to close this gap.

研究动机与目标

• 识别并更正原始论文中关于公共不动点迭代逼近定理3.5证明中的逻辑错误。
• 恢复由有限个总体渐近非扩张映射族生成的迭代序列收敛结果的有效性。
• 消除先前收敛论证中不合理的均匀连续性假设，特别是$\|x_{n+1}-x_n\| \to 0$蕴含$\|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0$的错误断言。
• 在序列$\mu_{in}$与$l_{in}$满足紧致性与可 summability 条件下，证明迭代序列强收敛于公共不动点。
• 证明修正后的证明在一致凸实巴拿赫空间中仍有效，且对映射的假设最小化。

提出的方法

• 通过凸组合重写迭代序列$\{x_n\}$：$x_{n+1} = \alpha_{0n}x_n + \sum_{i=1}^m \alpha_{in}T_i^n x_n$，其中$\alpha_{in} \in [0,1]$且$\sum_{i=0}^m \alpha_{in} = 1$。
• 利用不等式$\|x_{n+1} - x_n\| \leq \gamma_2 \sum_{i=1}^m \|T_i^n x_n - x_n\|$，证明$\|x_{n+1} - x_n\| \to 0$，并通过引理由8中的函数$g$的性质，证明$\|T_i^n x_n - x_n\| \to 0$。
• 利用某一映射$T_i$的紧致性（无需一致连续性），提取收敛子列$T_i^{n_k}x_{n_k} \to x^*$。
• 利用$x_n$与$T_i^n x_n$均收敛于$x^*$，以及$T_i$的连续性，证明对所有$i$有$x^* = T_i x^*$，从而得出$x^* \in F$。
• 应用定理10，确认对任意$p \in F$，有$\lim_{n\to\infty} \|x_n - p\|$存在，进而得出强收敛于$x^* \in F$。
• 通过反例（取$T(x) = 3x$，$x_n = 1 + \frac{1}{n}$）否定错误假设：$\|x_{n+1}-x_n\| \to 0$并不蕴含$\|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始论文中定理3.5的证明在总体渐近非扩张映射的迭代序列收敛性方面存在何种缺陷？
• RQ2 在不假设映射具有一致连续性的情况下，能否建立迭代序列强收敛于公共不动点？
• RQ3 当原始论证中依赖$\|x_{n+1}-x_n\| \to 0$推出$\|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0$的错误假设被更严谨的方法取代时，收敛结果是否仍然成立？
• RQ4 在序列$\mu_{in}$与$l_{in}$满足何种条件下，迭代格式可强收敛于公共不动点？
• RQ5 能否利用映射族中某一映射的紧致性来确保收敛，而无需假设一致连续性或更强的有界性条件？

主要发现

• 原始定理3.5的证明存在关键错误：断言$\|x_{n+1}-x_n\| \to 0$蕴含$\|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0$不成立，反例（取$T(x) = 3x$）已证明。
• 修正后的证明通过引理由8中的函数$g$的性质，证明了对所有$i = 1,2,\dots,m$，有$\|T_i^n x_n - x_n\| \to 0$。
• 在假设某一映射$T_i$为紧致的条件下，证明了$\{x_n\}$强收敛于公共不动点$p \in F = \bigcap_{i=1}^m F(T_i)$。
• 收敛结果在一致凸实巴拿赫空间中成立，迭代序列由$x_n$与$T_i^n x_n$的凸组合定义。
• 证明不再依赖于映射的一致连续性，从而解决了先前文献中的关键漏洞。
• 修正后的定理3.6确认：当$\sum \mu_{in} < \infty$，$\sum l_{in} < \infty$，且某一$T_i$为紧致时，若$\phi_i(\lambda_i) \leq M_i^* \lambda_i$对所有$\lambda_i \geq M_i$成立，则可实现强收敛。