[论文解读] Cosemisimple Hopf algebras with antipode of arbitrary finite order

Julien Bichon|ArXiv.org|Apr 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文在特征为零的代数闭域上，通过与非退化双线性形式相关的普遍霍普夫代数，构造了余半单霍普夫代数，其反演算子具有任意有限偶数阶 $2m$。关键贡献在于证明了此类霍普夫代数的存在性——此前未知——从而在非对合情形下为卡普兰斯基猜想提供了反例，并将弗罗贝尼乌斯-施罗尔指标理论推广至反演算子阶有限的余半单霍普夫代数。

ABSTRACT

We show that there exists cosemisimple Hopf algebras of arbitrary finite even order. We also discuss the Schur indicator for such Hopf algebras.

研究动机与目标

• 在特征为零的代数闭域上，构造具有任意有限偶数阶 $2m$ 反演算子的余半单霍普夫代数。
• 为有限维余半单霍普夫代数中反演算子的对合性提出卡普兰斯基猜想的反例。
• 将弗罗贝尼乌斯-施罗尔指标理论推广至反演算子阶有限的余半单霍普夫代数。
• 分析此类霍普夫代数中不可约余模的施罗尔指标，并证明其取值可超出 $\pm1$。

提出的方法

• 通过矩阵 $E \in GL_n(k)$ 从非退化双线性形式构造普遍霍普夫代数 $\mathcal{B}(E)$，满足 $E^{-1}{}^t\!a E a = I = a E^{-1}{}^t\!a E$。
• 定义余乘法 $\Delta(a_{ij}) = \sum_k a_{ik} \otimes a_{kj}$，余元 $\varepsilon(a_{ij}) = \delta_{ij}$，以及反演算子 $S(a) = E^{-1}{}^t\!a E$。
• 利用范畴等价 $\mathrm{Comod}(\mathcal{B}(E)) \cong^\otimes \mathrm{Comod}(\mathcal{O}(SL_q(2)))$ 证明当 $q$ 不是单位根或 $q = \pm1$ 时的余半单性。
• 通过证明 $S^{2m}(a) = a$ 且 $S^{2k}(a) = a$ 当且仅当 $m \mid k$，利用矩阵系数的线性无关性，确立反演算子阶为 $2m$。
• 利用余模的正交关系定义施罗尔指标 $\nu_2(V) = h(\chi_{V(1)}\chi_{V(2)})$，并推导其关于双线性形式矩阵 $E$ 的表达式。
• 使用霍普夫代数 $\mathcal{B}(E)$，其中 $E = \mathrm{AD}(\xi,1,1,1,1,1)$，$\xi$ 为 $m$ 次单位根，实现反演算子阶 $2m$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征为零的代数闭域上，是否可以存在具有任意有限偶数阶 $2m$ 反演算子的余半单霍普夫代数？
• RQ2 是否存在余半单霍普夫代数的例子，其反演算子非对合，从而在缺乏半单性时反驳卡普兰斯基猜想？
• RQ3 弗罗贝尼乌斯-施罗尔指标理论能否推广至反演算子阶有限的余半单霍普夫代数？
• RQ4 在这些霍普夫代数中，不可约余模的施罗尔指标 $\nu_2(V)$ 可能取哪些值，特别是当 $S^2 \neq \mathrm{id}$ 时？
• RQ5 能否构造一个反演算子阶为 4 的余半单霍普夫代数，以及一个不可约余模 $V$ 满足 $\nu_2(V) = n$，其中 $n$ 为任意奇数且 $n \geq 3$？

主要发现

• 对任意 $m \geq 1$，存在一个在特征为零的代数闭域上的余半单霍普夫代数，其反演算子阶恰好为 $2m$，通过 $\mathcal{B}(E)$ 构造，其中 $E = \mathrm{AD}(\xi,1,1,1,1,1)$，$\xi$ 为 $m$ 次单位根。
• 由于矩阵系数 $a_{ij}$ 的线性无关性及条件 $\xi^k = 1$，$\mathcal{B}(E)$ 的反演算子阶为 $2m$，因为 $S^{2k}(a) = a$ 当且仅当 $m \mid k$。
• $\mathcal{B}(E)$ 是余半单的，因为存在范畴等价 $\mathrm{Comod}(\mathcal{B}(E)) \cong^\otimes \mathrm{Comod}(\mathcal{O}(SL_q(2)))$，且当 $q = \pm1$ 或 $q$ 不是单位根时，$\mathcal{O}(SL_q(2))$ 是余半单的。
• 对于自对偶的不可约余模 $V$，施罗尔指标满足 $\nu_2(V) = \frac{\dim(V)}{\mathrm{tr}(E{}^tE^{-1})}$，其中 $E$ 是 $A$-线性双线性形式的矩阵。
• 当 $S^2 = \mathrm{id}$ 时，施罗尔指标取值为 $\pm1$，分别对应对称或反对称的 $A$-线性形式。
• 构造了一个反演算子阶为 4 的例子，其中存在一个不可约余模 $V$，维数为 $2n$（$n$ 为奇数），满足 $\nu_2(V) = n$，表明即使反演算子阶有限，指标的绝对值也可能超过 1。