[论文解读] Cosmological Krylov Complexity

Kiran Adhikari, Sayantan Choudhury|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 7

一句话总结

本文利用双模压缩态形式体系研究了在德西特空间中具有有效声速 $ c_s $ 的宇宙微扰中的克里洛夫复杂度与混沌行为。推导出克里洛夫复杂度 $ K = \sinh^2 r_k $、兰科兹系数 $ b_n \propto n $ 以及李雅普诺夫指数 $ \lambda = \sqrt{\left(\frac{k}{2}(1 - c_s^2)\right)^2 + \left(\frac{1}{\tau}\right)^2} $ 的显式表达式，表明克里洛夫复杂度与粒子数和体积成正比，且通过线性增长的兰科兹系数表现出混沌行为。

ABSTRACT

In this paper, we study the Krylov complexity ($K$) from the planar/inflationary patch of the de Sitter space using the two mode squeezed state formalism in the presence of an effective field having sound speed $c_s$. From our analysis, we obtain the explicit behavior of Krylov complexity ($K$) and lancoz coefficients ($b_n$) with respect to the conformal time scale and scale factor in the presence of effective sound speed $c_s$. Since lancoz coefficients ($b_n$) grow linearly with integer $n$, this suggests that universe acts like a chaotic system during this period. We also obtain the corresponding Lyapunov exponent $λ$ in presence of effective sound speed $c_s$. We show that the Krylov complexity ($K$) for this system is equal to average particle numbers suggesting it's relation to the volume. Finally, we give a comparison of Krylov complexity ($K$) with entanglement entropy (Von-Neumann) where we found that there is a large difference between Krylov complexity ($K$) and entanglement entropy for large values of squeezing amplitude. This suggests that Krylov complexity ($K$) can be a significant probe for studying the dynamics of the cosmological system even after the saturation of entanglement entropy.

研究动机与目标

• 利用德西特空间中的双模压缩态形式体系研究宇宙微扰中的克里洛夫复杂度与量子混沌。
• 通过引入有效声速 $ c_s $ 推广先前结果，使分析更具物理现实性。
• 探讨克里洛夫复杂度是否可作为超越纠缠熵饱和的宇宙动力学探针。
• 研究克里洛夫复杂度与体积的关系，及其对全息理论中“复杂度=体积”猜想的启示。
• 对不同 $ c_s $ 和模数波矢 $ k $ 数值与解析计算克里洛夫复杂度与李雅普诺夫指数。

提出的方法

• 采用双模压缩态形式体系描述具有有效声速 $ c_s $ 的膨胀弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克背景中的标量微扰。
• 推导出宇宙微扰的二次哈密顿量，进而得到压缩参数 $ r_k $ 与 $ \phi_k $ 的微分方程。
• 通过兰科兹算法计算克里洛夫复杂度，从递推关系中提取兰科兹系数 $ b_n $。
• 李雅普诺夫指数推导为 $ \lambda = \sqrt{\left(\frac{k}{2}(1 - c_s^2)\right)^2 + \left(\frac{1}{\tau}\right)^2} $，表明其具有模态依赖的混沌特性。
• 通过将依赖于共形时间 $ \tau $ 的方程转换为依赖于尺度因子 $ a(\tau) $ 的微分方程，获得数值解。
• 在晚期时间（$ a(\tau_0) = 1 $，$ r_k = \phi_k = 1 $）设定边界条件，用于数值积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 有效声速 $ c_s $ 如何影响德西特空间中宇宙微扰的克里洛夫复杂度？
• RQ2 兰科兹系数 $ b_n $ 的行为如何？其随 $ n $ 的线性增长是否证实了宇宙系统在暴胀德西特膨胀期间的混沌动力学？
• RQ3 李雅普诺夫指数如何依赖于 $ c_s $ 和模数波矢 $ k $？其是否满足已知的界限？
• RQ4 在此宇宙学背景下，克里洛夫复杂度是否与粒子数或系统体积成正比？
• RQ5 在大压缩极限下，克里洛夫复杂度与纠缠熵（冯 Neumann 熵）相比如何？

主要发现

• 克里洛夫复杂度精确等于 $ \sinh^2 r_k $，对应于每个模态的平均粒子数，表明其与系统体积存在直接关联。
• 兰科兹系数随 $ n $ 线性增长，证实了在暴胀德西特膨胀期间，宇宙系统表现出混沌行为。
• 李雅普诺夫指数为 $ \lambda = \sqrt{\left(\frac{k}{2}(1 - c_s^2)\right)^2 + \left(\frac{1}{\tau}\right)^2} $，明确显示出对 $ k $ 和 $ c_s $ 的依赖，与 $ c_s = 1 $ 的情况不同。
• 当 $ c_s = 1 $ 时，李雅普诺夫指数简化为 $ \lambda = \frac{1}{\tau} $，与 $ \lambda = 2\pi T $ 的界限一致，符合量子混沌界限。
• 数值结果表明，克里洛夫复杂度与李雅普诺夫指数均被其在 $ c_s = 1 $ 时的值从下方有界，表明 $ c_s = 1 $ 为最小混沌区域。
• 即使在纠缠熵达到饱和后，克里洛夫复杂度仍为宇宙动力学的可行探针，凸显其在研究晚期量子复杂度中的实用性。