[论文解读] Cosmological modelling with Regge calculus

Rex G. Liu, Ruth M. Williams|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文将柯林斯-威廉姆斯形式的雷吉演算——一种离散的、非微扰的一般相对论方法——应用于建模宇宙学时空，包括均匀的 $Λ$-FLRW 时空和非均匀的晶格宇宙。结果表明，该形式化方法在规则和受扰的晶格模型中均能准确重现封闭且稳定的动力学行为，且随着粒子数的增加，其行为趋近于 FLRW 模型。

ABSTRACT

The late universe's matter distribution obeys the Copernican principle at only the coarsest of scales. The relative importance of such inhomogeneity is still not well understood. Because of the Einstein field equations' non-linear nature, some argue a non-perturbative approach is necessary to correctly model inhomogeneities and may even obviate any need for dark energy. We shall discuss an approach based on Regge calculus, a discrete approximation to general relativity: we shall discuss the Collins--Williams formulation of Regge calculus and its application to two toy universes. The first is a universe for which the continuum solution is well-established, the $Λ$-FLRW universe. The second is an inhomogeneous universe, the `lattice universe' wherein matter consists solely of a lattice of point masses with pure vacuum in between, a distribution more similar to that of the actual universe compared to FLRW universes. We shall discuss both regular lattices and one where one mass gets perturbed.

研究动机与目标

• 探究柯林斯-威廉姆斯雷吉形式化方法是否能在不依赖线性化近似的情况下，非微扰地模拟宇宙学中的非均匀性。
• 检验柯林斯-威廉姆斯雷吉形式化方法在近似已知连续解（如 $Λ$-FLRW 宇宙）时的有效性。
• 探索由离散点质量按晶格排列构成的非均匀宇宙的动力学行为，此类模型更贴近真实宇宙的结构。
• 评估受扰晶格宇宙的稳定性与演化，特别是局部质量变化的影响。
• 评估雷吉模型通过非均匀几何对宇宙学观测量（如红移）产生影响的潜力。

提出的方法

• 采用柯林斯-威廉姆斯雷吉演算形式化方法，将时空离散化为平直的四维单纯形（四维块），通过三维铰链（单形）连接，曲率通过铰链处的亏量角编码。
• 应用雷吉作用量 $\mathcal{S}_{\text{Regge}} = \frac{1}{8\pi} \sum_i A_i \delta_i$，其中 $A_i$ 为铰链面积，$\delta_i$ 为亏量角，并通过对边长变分推导运动方程。
• 通过令柯西面之间的时间间隔趋于零，施加时间连续极限，从而得到边长 $l(t)$ 演化的微分方程。
• 通过在三维球面三角剖分的单形中心放置点质量，建模规则晶格宇宙，物质内容通过穿过四维块的粒子世界线近似。
• 对于受扰晶格，通过对独立支柱局部变分，推导出描述边长演化的两个耦合的非线性微分方程。
• 对受扰演化方程在 $\delta M/M$ 下线性化，以实现数值求解，初始条件来自时间对称约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯林斯-威廉姆斯雷吉形式化方法能否准确再现已知连续解（如 $Λ$-FLRW 宇宙）的动力学？
• RQ2 由离散点质量构成的非均匀晶格宇宙在雷吉演算下如何演化？其是否保持稳定且封闭？
• RQ3 当晶格宇宙中的粒子数增加时，是否会趋近于均匀、各向同性的 FLRW 类似行为？
• RQ4 局部质量扰动如何影响雷吉框架下晶格宇宙的几何演化？
• RQ5 雷吉模型中的非均匀性在多大程度上能影响宇宙学观测量（如红移和光传播）？

主要发现

• 柯林斯-威廉姆斯雷吉形式化方法能可靠地近似 $Λ$-FLRW 宇宙，且随着单形数量的增加，近似精度不断提高。
• 规则晶格宇宙表现出封闭且稳定的演化，其动力学行为随粒子数 $N_p$ 增加而趋近于 FLRW 行为。
• 受扰晶格宇宙在质量变化下仍保持稳定，更大的扰动仅导致更高的最大膨胀，而不会引起不稳定性。
• 规则晶格的哈密顿约束依赖于参数 $v$ 的粒子位置，仅当粒子位于单形中心时才无条件稳定。
• 局部变分方法通过从两个支柱变分推导出两个独立约束，成功地从全局解空间中分离出唯一解。
• 线性化扰动方程的数值解表明，小质量扰动导致的体积演化几乎无法区分，表明该模型具有强鲁棒性。