[论文解读] Cosmological models with spinor and scalar fields by Noether symmetry approach

Gilberto M. Kremer, Rudinei C de Souza|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文采用诺特定称性方法，对含旋量场和标量场的宇宙学模型中的势能和耦合项进行约束，实现了场方程的解析积分。研究发现，旋量场可模拟暗物质或暴胀子行为，而标量场则导致振荡式膨胀，表现出交替的加速与减速阶段，与观测宇宙学一致。

ABSTRACT

General cosmological models with spinor and scalar fields playing the role of gravitational sources are analyzed. The Noether symmetry approach is taken as a criterion to constrain the undefined potentials and couplings of the generic actions. For all the found Noether symmetries the corresponding dynamical systems can be analytically integrated. The obtained cosmological solutions describe the early and late Universe as expected by basing on the known eras of the Universe.

研究动机与目标

• 通过诺特对称性准则，约束含旋量场和标量场的宇宙学模型中的一般势能和耦合项。
• 通过要求系统在诺特对称性下不变，识别出无需人为假设的物理上有意义的模型。
• 对所得的动力系统进行解析积分，推导早期和晚期宇宙的宇宙学解。
• 探讨旋量场是否可解释为暗物质，标量场是否可解释为暗能量，或反之。
• 确定在诺特对称性约束下，尺度因子和标量场的动力学行为。

提出的方法

• 将诺特对称性方法应用于包含旋量场和标量场的一般作用量，其中势能和耦合项未指定。
• 通过李导数条件 $ L_{\mathbf{X}}\mathcal{L} = 0 $ 确定对称性的无穷小生成元，确保守恒量 $ M_0 $ 的存在。
• 利用循环变量条件 $ \sum_k \alpha_k \partial z / \partial q_k = 1 $ 将系统简化为更少的变量。
• 通过正则变换，将原始动力系统转化为仅含尺度因子 $ a $ 和标量场 $ \phi $ 的约化系统。
• 通过将解表示为 $ z(t) = z_1 t + z_2 $ 和 $ u(t) = u_0 \sin(\omega t + b_0) $ 的形式，对约化系统进行解析积分，其中 $ \omega^2 = 3ABU_0 $。
• 利用变换关系和守恒量，重构 $ a(t) $、$ \phi(t) $ 和 $ \psi(t) $ 的显式时变解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在宇宙学模型中，旋量场和标量场的哪些势能和耦合形式能产生诺特对称性？
• RQ2 诺特对称性方法能否为旋量-标量场系统提供解析可积的宇宙学解？
• RQ3 所得解如何描述早期（暴胀期）和晚期（加速期）宇宙？
• RQ4 旋量场是否可因耦合类型不同而表现出类暗物质或类暴胀子的性质？
• RQ5 当系统具有循环变量和守恒量时，尺度因子和标量场的时间演化行为如何？

主要发现

• 诺特对称性方法成功约束了势能和耦合项，使动力系统具有解析可积性。
• 对于非最小耦合的旋量场，状态方程趋近于宇宙学常数，模拟暴胀行为。
• 在最小耦合情况下，旋量场表现为标准物质，能量密度为 $ \rho_\psi = m\Psi_0 / a^3 $，支持其作为暗物质的识别。
• 标量场表现出振荡状态方程，交替呈现类物质和类暗能量行为。
• 尺度因子 $ a(t) $ 展现振荡式膨胀，具有交替的加速与减速阶段，其表达式为 $ a(t) = \left( \frac{\omega^2}{2U_0} \right)^{1/3} \left\{ z_1^2 t^2 + \cdots \right\}^{1/3} $。
• 旋量场解为 $ \psi(t) = \frac{\sqrt{2U_0}}{\omega} \begin{pmatrix} \psi_1^0 e^{-i m t} \\ \psi_2^0 e^{-i m t} \\ \psi_3^0 e^{i m t} \\ \psi_4^0 e^{i m t} \end{pmatrix} \Theta(t) $，其中 $ \Theta(t) \propto \{ \cdots \}^{-1/2} $，表明其归一化随时间变化。