[论文解读] Cosmological Polytopes and the Wavefunction of the Universe

Nima Arkani–Hamed, Paolo Benincasa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 80

一句话总结

本文将标量玩具模型中宇宙的晚期波函数与 cosmological polytopes 的规范形式联系起来，建立一个以几何为驱动的扰动波函数及其奇点的框架。

ABSTRACT

We present a connection between the physics of cosmological time evolution and the mathematics of positive geometries, roughly analogous to similar connections seen in the context of scattering amplitudes. We consider the wavefunction of the universe in a class of toy models of conformally coupled scalars (with non-conformal interactions) in FRW cosmologies. The contribution of each Feynman diagram to the wavefunction of the universe is associated with a certain universal rational integrand, which we identify as the canonical form of a "cosmological polytope", which have an independent, intrinsic definition, making no reference to physics. The singularity structure of the wavefunction for this model of scalars is common to all theories, and is geometrized by the cosmological polytope. Natural triangulations of the polytope reproduce the path-integral and "old-fashioned perturbation theory" representations of the wavefunction, and we also find new representations of the wavefunction with no extant physical interpretation. We show in suitable examples how symmetries of the cosmological polytope descend to symmetries of the wavefunction, (such as conformal invariance). In cases such as $ϕ^3$ theory in $dS_4$, the final wavefunction obtained from integration of the rational functions gives rise to polylogarithms associated with every graph. We give an explicit expression for the symbol of these polylogs, which record the geometry of sequential projections of the cosmological polytope.

研究动机与目标

• 激发并形式化宇宙时间演化与宇宙波函数之间的联系。
• 引入 cosmological polytopes 作为与时间无关的对象，其规范形式产生波函数积分表达式。
• 展示三角剖分与对偶多胞体如何对应于体积时间积分和传统摄动理论。
• 在特定模型中展示对称性与多对数结构，并将多胞体几何与波函数性质联系起来。

提出的方法

• 在 FRW 宇宙学中定义一类具有时依赖耦合的玩具标量场模型。
• 计算波函数的摄动展开，推导与每个费曼图相关的通用有理积分表达式 psi(x_v,y_e) 。
• 从图形引入 cosmological polytopes，其顶点由 x_v 和 y_e 基向量给出，每条图边对应3E个多胞体顶点。
• 利用多胞体的规范形式获得波函数积分表达式，在所有棱面处具有对数奇点。
• 通过多胞体及其对偶的自然三角剖分，将时间积分表示与旧式摄动理论联系起来。
• 讨论通过轮廓积分和推前得到的规范形式的新表示法，适用于宇宙学情境。
• 呈现对称性含义，包括在 de Sitter 背景中的共形不变性，并开始在特定理论中提取多对数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 宇宙的波函数如何被重新表述为正几何的规范形式？
• RQ2 宇宙时间演化与 cosmological polytopes 的几何结构之间的精确关系是什么？
• RQ3 cosmological polytope 的不同三角剖分如何与体时间积分和边界摄动理论相关？
• RQ4 cosmological polytope 的哪些对称性会落到波函数上，它们如何在 de Sitter 相关函数中体现？
• RQ5 在特定模型（如 c6^3 理论在 dS4 中）的最终波函数，关于多对数及其符号的性质如何？

主要发现

• 每个费曼图贡献一个通用的有理积分表达式，可以被识别为 cosmological polytope 的规范形式。
• 多胞体的三角剖分对应于体积时间积分表示，而对偶多胞体的三角剖分再现了旧式摄动理论。
• 通过轮廓积分和推前得到的新多胞体表示法提供了替代的波函数表达式，且未给出直接的物理含义。
• cosmological polytope 的对称性，如在 de Sitter 空间中的共形不变性，体现为波函数的对称性。
• 在 dS4 的 φ^3 理论中，整合后的波函数具有多对数性质，且可计算的符号编码多胞体序列投影的几何。