[论文解读] Cosmological Polytopes and the Wavefuncton of the Universe for Light States

Paolo Benincasa|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Cosmology and Gravitation Theories被引用 24

一句话总结

本文提出了一种广义的宇宙多面体框架，通过共形形式的退化极限，将具有平坦空间散射振幅的轻标量态的宇宙波函数统一起来。结果表明，质量标量波函数的递归关系源于作用于无质量种子的微分算子，且波函数中所有奇点均通过多面体的高余维面对应于平坦空间过程，极点阶数与面对应的余维数一致。

ABSTRACT

We extend the investigation of the structure of the late-time wavefunction of the universe to a class of toy models of scalars with time-dependent masses and polynomial couplings, which contains general massive scalars in FRW cosmologies. We associate a universal integrand to each Feynman diagram contributing to the wavefunction of the universe. For certain (light) masses, such an integrand satisfies recursion relations involving differential operators, connecting states with different masses and having, as a seed, the massless scalar (which describes a conformally coupled scalar as a special case). We show that it is a degenerate limit of the canonical form of a generalisation of the cosmological polytopes describing the wavefunction for massless scalars. Intriguingly, the flat-space scattering amplitude appears as a higher codimension face: it is encoding the leading term in the Laurent expansion as the total energy is taken to zero, with the codimension of the face providing the order of the total energy pole. The same connection between the other faces and the Laurent expansion coefficients holds for the other singularities of the wavefunction of the universe, all of them connectable to flat-space processes. As the degenerate limit is taken, some of the singularities of the canonical form of the polytope collapse onto each other generating higher order poles. Finally, we consider the mass as a perturbative coupling, showing that the contribution to the wavefunction coming from graphs with mass two-point couplings can be identified with a degenerate limit of the canonical form of the cosmological polytope, if the perturbative expansion is done around the conformally coupled state; or as double degenerate limit of the canonical form of the extension of the cosmological polytopes introduced in the present paper, if the perturbative expansion is done around minimally coupled states.

研究动机与目标

• 将宇宙多面体形式化推广至FRW背景中具有时变质量及多项式耦合的标量场质量。
• 在该类模型中，识别出宇宙晚期波函数的通用被积函数。
• 通过广义多面体的几何面，建立波函数奇点与平坦空间散射振幅之间的联系。
• 探讨微扰质量展开在多面体的共形形式退化极限中的作用。
• 通过分析图与多面体的组合结构，为将形式化推广至高自旋态奠定基础。

提出的方法

• 为质量标量模型中贡献于宇宙波函数的每个费曼图关联一个通用被积函数，该模型具有时变质量。
• 利用关联不同质量态的微分算子，推导波函数被积函数的递归关系，以无质量标量作为种子。
• 将宇宙多面体构造推广至包含边加权图的形式，其中三角形代表两站点图，线段代表 tadpoles。
• 通过在中点处相交三角形与线段，构造一类新多面体，其退化极限产生原始形式的导数。
• 将平坦空间散射振幅识别为广义多面体的高余维面，其余维数对应于在总能量零点处洛朗展开中的极点阶数。
• 通过以外部子图站点为中心的锥体投影标准宇宙多面体，生成对应于具有外部 tadpoles 的图的多面体，从而与微扰质量展开相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过通用被积函数系统地描述FRW宇宙中质量标量场的宇宙波函数？
• RQ2 波函数被积函数中多重极点的几何起源是什么？它们与多面体共形形式奇点之间有何关系？
• RQ3 平坦空间散射振幅如何作为广义宇宙多面体构造中的子结构出现？
• RQ4 无质量标量态在轻质量波函数递归关系中作为种子的作用是什么？
• RQ5 波函数的质量微扰展开是否可解释为广义宇宙多面体共形形式的退化极限？

主要发现

• 轻标量态波函数被积函数满足由作用于无质量种子的微分算子生成的递归关系，推广了共形耦合情形。
• 广义宇宙多面体通过在中点处相交三角形（两站点图）与线段（tadpoles）构造而成，其共形形式的退化极限产生原始形式的导数。
• 平坦空间散射振幅作为广义多面体的高余维面出现，其面的余维数等于在总能量零点处洛朗展开中极点的阶数。
• 波函数被积函数中的所有奇点在多面体的面上几何编码，每个奇点对应一个独立的平坦空间过程。
• 当质量被微扰展开时，若以无质量态为展开点，两点质量耦合的贡献对应于共形形式的退化极限；若以最小耦合态为展开点，则对应于双重退化极限。
• 多面体构造为波函数结构提供了几何实现，图的求和自然编码于多面体的组合与微分几何之中。