[论文解读] Cosmological production of fermions in a flat Friedman universe with linearly growing scale factor: exactly solvable model

S. V. Anischenko, С. Л. Черкас+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在尺度因子线性增长的平坦弗里德曼宇宙中费米子产生过程的精确可解模型，利用特殊函数解析计算了粒子产生。关键结果是一个类似热辐射的费米子谱，其数密度 $ n \sim H^3(t) $ 与费米子质量无关，且具有热分布形式 $ n(p) = \left[\exp(2\pi p / H(t)) + 1\right]^{-1} $，表明有效温度 $ T \sim H(t)/(2\pi) $。

ABSTRACT

We consider an exactly solvable model for production of fermions in the Friedman flat universe with a scale factor linearly growing with time. Exact solution expressed through the special functions admit an analytical calculation of the number density of created particles. We also discuss in general the role of the phenomenon of the cosmological particle production in the history of universe.

研究动机与目标

• 在尺度因子线性增长的平坦弗里德曼宇宙中，发展一种精确可解的宇宙学费米子产生模型。
• 通过时间依赖狄拉克方程的精确解，解析计算所产生费米子的数密度。
• 利用精确真空态最小化方法定义初态与末态真空，避免使用近似真空定义。
• 研究早期宇宙物质生成中宇宙粒子产生的作用，特别是预暴胀阶段。
• 将精确结果与近似方法进行比较，评估质量无关粒子产生的物理意义。

提出的方法

• 基于共形时间 $ \eta $ 的形式化方法，尺度因子为 $ a(\eta) = a_0 e^{\mathcal{H}\eta} $，对应于线性 $ a(t) \propto t $。
• 推导费米子在膨胀背景下的时间依赖狄拉克方程，导出模式函数 $ \chi_k $ 的复频率振子方程。
• 使用精确真空态最小化方法（nonlin）定义初态与末态真空，避免使用绝热或WKB近似。
• 通过模式函数演化推导出初态与末态之间的布廖奇乌夫变换，参数化为混合角 $ r_k $ 和相位 $ \delta_k $。
• 利用特殊函数解析求解模式方程，实现粒子产生率的精确计算。
• 通过公式 $ n = \frac{1}{Va^3} \int \sin^2 r_k \frac{V d^3k}{(2\pi)^3} $ 计算数密度，得到 $ n \sim \frac{3}{40\pi^5} H^3(t) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在尺度因子线性增长的平坦弗里德曼宇宙中，所产生费米子的精确数密度是多少？
• RQ2 粒子谱 $ n(p) $ 如何依赖于物理动量 $ p = k/a $，是否表现出热行为？
• RQ3 粒子产生在何时变得显著，这又如何依赖于费米子质量？
• RQ4 能否在不依赖绝热或WKB近似的情况下定义精确真空态？
• RQ5 该粒子产生机制在暴胀前物质生成中的宇宙学意义是什么？

主要发现

• 所产生费米子的数密度为 $ n \sim \frac{3}{40\pi^5} H^3(t) \approx 2.5 \times 10^{-4} H^3(t) $，与费米子质量无关。
• 动量谱服从费米-狄拉克分布：$ n(p) = \left[\exp(2\pi p / H(t)) + 1\right]^{-1} $，表明有效温度 $ T \sim H(t)/(2\pi) $。
• 粒子产生始于时间 $ t_1 \sim 1/m $，此时 $ H(t_1) \approx m $，函数 $ \sigma_k $ 开始振荡，标志真实粒子的产生。
• 对于无质量费米子（$ m \to 0 $），粒子产生可无限延迟发生，因为 $ \sigma_k $ 在所有有限时间内保持单调。
• 除非膨胀率超过 $ a_0/a_1 \sim 10^{33} $，否则暴胀前产生的总物质密度可忽略不计，需约76个e-foldings才能达到观测密度。
• 该模型为测试宇宙粒子产生中WKB或绝热真空近似等近似方法提供了基准。