[论文解读] Cost-Based Intuitionist Probabilities on Spaces of Graphs, Hypergraphs and Theorems

Ben Goertzel|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过使用基本操作或规则系统定义的最小转换成本，建立图、超图和定理上的基于成本的直觉概率度量。该度量满足Knuth与Skilling的对称性公理，形成一种类似概率的度量，尊重格运算，并通过超图表示实现对逻辑定理的直觉概率推理。

ABSTRACT

A novel partial order is defined on the space of digraphs or hypergraphs, based on assessing the cost of producing a graph via a sequence of elementary transformations. Leveraging work by Knuth and Skilling on the foundations of inference, and the structure of Heyting algebras on graph space, this partial order is used to construct an intuitionistic probability measure that applies to either digraphs or hypergraphs. As logical inference steps can be represented as transformations on hypergraphs representing logical statements, this also yields an intuitionistic probability measure on spaces of theorems. The central result is also extended to yield intuitionistic probabilities based on more general weighted rule systems defined over bicartesian closed categories.

研究动机与目标

• 开发适用于图和定理等非集合实体的概率框架，突破标准集合论基础的限制。
• 基于从不可分解图出发的最小成本转换序列，定义图空间上的新颖偏序关系。
• 构建一个满足Knuth与Skilling对称性公理的直觉概率度量，以支持推理。
• 通过将定理建模为超图、推理建模为超图变换，将该框架扩展至逻辑定理。
• 将该方法推广至任意双卡笛阿闭范畴，其内含一组加权变换系统。

提出的方法

• 通过最小化将图从不可分解基底生成所需的初等变换（如同态）数量，在有向图和超图上定义基于成本的偏序关系。
• 在图空间上利用Heyting代数结构，其中并运算为不相交并集，交运算为直积，以建模逻辑与概率运算。
• 应用Knuth与Skilling的推理公理——单调性、结合性与复合规则——推导出一种在格运算下表现如概率的估值。
• 将框架扩展至每条变换规则均有关联成本的规则系统，将从一图变换至另一图的成本定义为实现该变换的最小成本规则序列。
• 将逻辑命题建模为带标签、加权的超图，将推理建模为超图变换，从而基于证明长度为定理分配概率。
• 将该构造推广至任意双卡笛阿闭范畴，其内含一组特定的态射（规则），使该概率框架可应用于图之外更广泛的范畴结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在图与定理的空间上定义一种不依赖于集合论约化的有意义概率度量？
• RQ2 如何利用最小转换成本在图空间上构建偏序关系，其与格运算的相互作用如何？
• RQ3 图上的基于成本的估值是否满足Knuth与Skilling所识别的、构成一致概率理论所必需的对称性公理？
• RQ4 该框架能否扩展至建模逻辑推理，并通过超图表示为定理分配直觉概率？
• RQ5 该概率构造在任意双卡笛阿闭范畴（含变换规则）下的推广形式为何？

主要发现

• 通过最小化从不可分解基底构建图所需的初等变换数量，定义了图上的基于成本的偏序关系，确保其与格运算相容。
• 基于成本的估值满足Knuth与Skilling的对称性公理，从而可构建一种满足乘法法则、包含-排除原理及条件概率的度量，其具有类似频率的刻画方式。
• 对于具有加权变换的规则系统，图的概率与将其从公理构造所需的最小成本规则序列的倒数成正比，从而产生一种非归一化的直觉概率。
• 当应用于以超图表示的逻辑定理时，该框架为定理分配的概率与最短证明长度的倒数成正比，从而在定理空间上提供一种新颖且直观的度量。
• 该构造可推广至任意双卡笛阿闭范畴，其内含一组态射（规则），使该概率框架可应用于更广泛的范畴与逻辑环境。
• 所得概率度量为直觉的，即其与直觉逻辑及Heyting代数结构一致，为复杂系统与人工智能中的不确定推理提供了基础。