[论文解读] Cost-Parity and Cost-Streett Games

Nathanaël Fijalkow, Martín Zimmermann|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Logic, programming, and type systems被引用 4

一句话总结

本文引入了成本对等游戏（cost-parity）与成本Streett游戏（cost-Streett），这两类在有限图上定义的双人无限游戏，其边带有成本，且获胜条件对请求与响应之间的时间成本施加了约束。研究证明，成本对等游戏具有位置性获胜策略，且属于NP ∩ coNP；而成本Streett游戏需要有限状态策略，且为EXPTIME完全，通过将问题约化为经典游戏实例，统一了经典与有限变体。

ABSTRACT

We consider two-player games played on finite graphs equipped with costs on edges and introduce two winning conditions, cost-parity and cost-Streett, which require bounds on the cost between requests and their responses. Both conditions generalize the corresponding classical ω-regular conditions as well as the corresponding finitary conditions. For cost-parity games we show that the first player has positional winning strategies and that determining the winner lies in NP ∩ coNP. For cost-Streett games we show that the first player has finite-state winning strategies and that determining the winner is EXPTIME-complete. This unifies the complexity results for the classical and finitary variants of these games. Both types of cost games can be solved by solving linearly many instances of their classical variants.

研究动机与目标

• 将经典ω-正则游戏扩展为对请求与响应之间响应成本施加成本约束。
• 定义并分析两种新的获胜条件——成本对等与成本Streett，其推广了经典与有限变体。
• 确定在这些游戏中判定胜者计算复杂度。
• 刻画成本对等与成本Streett游戏中获胜策略的存在性与结构。

提出的方法

• 通过将对偶条件与请求-响应事件之间距离的成本约束相结合，定义成本对等游戏。
• 通过在Streett条件中引入请求-响应对之间响应延迟的成本界限，定义成本Streett游戏。
• 利用成本有界的策略的结构特性，证明成本对等游戏中先手玩家的获胜策略为位置性策略。
• 通过基于成本有界记忆机制的构造，证明成本Streett游戏存在有限状态获胜策略。
• 通过将成本游戏约化为经典实例，建立复杂度结果：求解一个成本游戏需求解线性数量的经典游戏。
• 利用向经典游戏的约化，统一经典、有限与基于成本的变体之间的复杂度结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在响应成本有界的成本对等游戏中，判定胜者的计算复杂度是多少？
• RQ2 位置性策略是否足以在成本对等游戏中获胜，其与经典对偶游戏中的策略有何关系？
• RQ3 求解成本Streett游戏的复杂度是多少，获胜策略需要何种形式的记忆？
• RQ4 成本对等与成本Streett游戏如何统一经典与有限变体的复杂度结果？
• RQ5 是否可以通过将成本游戏约化为多个经典对应实例来求解？

主要发现

• 成本对等游戏存在位置性获胜策略，即先手玩家可仅依据当前状态获胜。
• 判定成本对等游戏的胜者属于NP ∩ coNP，表明其极不可能为NP完全，除非多项式层次坍缩。
• 成本Streett游戏需要有限状态获胜策略，表明记忆是必要的，但其复杂度有界。
• 成本Streett游戏的胜者可在EXPTIME内判定，且该界是紧致的，表明其具有高度计算复杂度。
• 通过求解其经典对应实例的线性数量，可求解两类成本游戏，提供了一种统一的算法方法。
• 研究结果统一了对偶与Streett游戏在经典、有限与成本有界变体下的复杂度图景。