[论文解读] Cosymplectic geometry, reductions, and energy-momentum methods with applications

J. de Lucas, A. Maskalaniec+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2023

Nonlinear Waves and Solitons被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的余辛能量-动量方法，通过利用余辛几何，将经典能量-动量技术推广至时变哈密顿系统，从而能够通过一种新的余辛到辛的约化方法研究相对平衡点，包括一类新类型的称为梯度相对平衡点的点。该方法消除了以往对Ad*-等变性的技术限制，并成功应用于限制性圆型三体问题和时变薛定谔方程。

ABSTRACT

Classical energy-momentum methods study the existence and stability properties of solutions of $t$-dependent Hamilton equations on symplectic manifolds whose evolution is given by their Hamiltonian Lie symmetries. The points of such solutions are called relative equilibrium points. This work devises a new cosymplectic energy-momentum method providing a new and more general framework to study $t$-dependent Hamilton equations. In fact, cosymplectic geometry allows for using more types of distinguished Lie symmetries (given by Hamiltonian, gradient, or evolution vector fields), relative equilibrium points, and reduction methods, than symplectic techniques. To make our work more self-contained and to fill some gaps in the literature, a review of the cosymplectic formalism and the cosymplectic Marsden-Weinstein reduction is included. Known and new types of relative equilibrium points are characterised and studied. Our methods remove technical conditions used in previous energy-momentum methods, like the ${ m Ad}^*$-equivariance of momentum maps. Eigenfunctions of $t$-dependent Schrödinger equations are interpreted in terms of relative equilibrium points in cosymplectic manifolds. A new cosymplectic-to-symplectic reduction is developed and a new associated type of relative equilibrium points, the so-called gradient relative equilibrium points, are introduced and applied to study the Lagrange points and Hill radii of a restricted circular three-body system by means of a not Hamiltonian Lie symmetry of the system.

研究动机与目标

• 通过利用余辛几何，为时变哈密顿系统开发一种广义的能量-动量方法，克服经典辛方法的局限性。
• 在余辛流形中定义并表征新型相对平衡点，包括梯度相对平衡点。
• 建立一种新的余辛到辛的约化技术，即使在动力学非哈密顿时也适用，从而扩展标准Marsden–Weinstein约化。
• 将该框架应用于物理系统，如限制性圆型三体问题和时变薛定谔方程，提供新的动力学洞见。
• 消除动量映射Ad*-等变性等技术假设，扩大能量-动量方法的适用范围。

提出的方法

• 利用余辛流形 (M, ω, η)，其中 ω 和 η 为闭形式，且满足 ker ω ⊕ ker η = TM，使时间可作为坐标处理。
• 对任意光滑函数 f 定义三种相关向量场：哈密顿向量场 X_f、梯度 ∇f 和演化向量场 E_f，动力学由 M = T × P 上的 E_h 控制。
• 引入余辛动量映射 J^Φ: M → g*，其分量为Reeb向量场的首次积分，以及基本向量场的哈密顿函数。
• 通过商掉某个Casimir函数 Υ 的梯度，发展一种新的余辛到辛的约化，得到一个辛约化空间。
• 在限制性圆型三体问题中应用该约化，通过固定旋转参考系，将非自治系统转化为自治哈密顿系统。
• 利用约化后的哈密顿函数 k(r, φ′, p_r, p_φ) 描述旋转参考系中的动力学，该函数由原始余辛向量场 R_TB + X_h 导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能量-动量方法如何能被推广到超越辛框架的时变系统？
• RQ2 在余辛几何中会出现哪些新型相对平衡点，它们与经典方法有何不同？
• RQ3 能否构建一种余辛到辛的约化方法，即使原始动力学非哈密顿也适用？
• RQ4 如何将余辛能量-动量方法应用于限制性圆型三体问题等物理系统？
• RQ5 梯度向量场在非自治力学系统中定义新型平衡结构时起什么作用？

主要发现

• 本文引入了一类新型相对平衡点——梯度相对平衡点，定义为 π_*(R_TB + X_h) 消失的点，这类点无法被标准辛方法捕捉。
• 余辛到辛的约化产生一个辛商流形，其中约化动力学为哈密顿系统，其哈密顿函数为 k(r, φ′, p_r, p_φ)，该函数在本文中明确推导。
• 限制性圆型三体问题的约化系统变为自治系统，描述了以角速度 ϖ 旋转参考系中的运动，从而可分析拉格朗日点与希尔球半径。
• 该方法消除了对动量映射Ad*-等变性的需求，扩大了能量-动量方法在更广泛系统中的适用范围。
• 时变薛定谔方程的本征函数被解释为余辛流形中的相对平衡点，将量子力学与几何力学联系起来。
• 该方法成功处理了约化中的非哈密顿向量场，如 R_TB + X_h 虽非哈密顿，但其约化系统却是哈密顿的，已通过实例验证。