[论文解读] Cotorsion pairs, Gorenstein dimensions and triangle-equivalences

Jiangsheng Hu, Huanhuan Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用 1

一句话总结

本文证明了具有有限 Gorenstein $̅A$ 维数的复形恰好是那些允许完整 $̅A$-解析的复形，利用一个完备的遗传余挠对 $(̅A, ̅B)$ 来定义模型结构。本文提供了计算此类复形的Tate-Vogel上同调与相对上同调的一般方法，并厘清了复形中 Gorenstein $̅A$ 维数与 $̅A$ 维数之间的关系。

ABSTRACT

We study Tate-Vogel and relative cohomologies of complexes by applying the model structure induced by a complete hereditary cotorsion pair ($\A$, $\B$) of modules. We show first that the class of complexes admitting a complete $\A$ resolution is exactly the class of complexes with finite Gorenstein $\A$ dimension. This lets us give general techniques for computing Tate-Vogel cohomoloies of complexes with finite Gorenstein $\A$ dimension. As a consequence, relative cohomology groups for complexes with finite Gorenstein $\A$ dimension are investigated. Finally, the relationships between Gorenstein $\A$ dimensions and $\A$ dimensions for complexes are given.

研究动机与目标

• 通过完整 $̅A$-解析刻画具有有限 Gorenstein $̅A$ 维数的复形。
• 为具有有限 Gorenstein $̅A$ 维数的复形开发计算 Tate-Vogel 与相对上同调群的一般方法。
• 厘清复形中 Gorenstein $̅A$ 维数与经典 $̅A$ 维数之间的关系。

提出的方法

• 应用由完备遗传余挠对 $(̅A, ̅B)$ 导出的模型结构，研究复形的上同调性质。
• 将完整 $̅A$-解析定义为由 $̅A$ 中的复形构成、其项属于 $̅B$ 的解析。
• 利用模型结构通过复形的同伦范畴分析 Tate-Vogel 上同调。
• 通过 $̅A$-解析与诱导的三角范畴结构研究相对上同调群。
• 建立具有有限 Gorenstein $̅A$ 维数的复形类恰好与那些允许完整 $̅A$-解析的复形类一致。
• 通过解析理论比较 Gorenstein $̅A$ 维数与 $̅A$ 维数，分析维数关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些复形允许完整 $̅A$-解析，这与 Gorenstein $̅A$ 维数有何关系？
• RQ2 如何计算具有有限 Gorenstein $̅A$ 维数的复形的 Tate-Vogel 上同调？
• RQ3 在复形的背景下，相对上同调与 $̅A$-解析之间存在何种关系？
• RQ4 对于复形而言，Gorenstein $̅A$ 维数与 $̅A$ 维数之间有何比较关系？
• RQ5 由完备遗传余挠对导出的模型结构在计算上同调不变量中起什么作用？

主要发现

• 具有有限 Gorenstein $̅A$ 维数的复形类恰好是那些允许完整 $̅A$-解析的复形类。
• 为具有有限 Gorenstein $̅A$ 维数的复形建立了计算 Tate-Vogel 上同调的一般技术。
• 具有有限 Gorenstein $̅A$ 维数的复形的相对上同调群通过 $̅A$-解析得到完全刻画。
• 由完备遗传余挠对 $(̅A, ̅B)$ 导出的模型结构使得对上同调不变量的系统研究成为可能。
• Gorenstein $̅A$ 维数与 $̅A$ 维数之间的关系得到厘清，表明前者在复形背景下对后者进行了细化。
• 该框架为以余挠对为语言统一研究复形的上同调与维数理论提供了方法。