[论文解读] Coulomb branches of quiver gauge theories with symmetrizers

Hiraku Nakajima, Alex Weekes|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用 7

一句话总结

本文将3D $\nabla=4$ quiver gauge理论中Coulomb分支的数学定义推广至包含对称化器的情形，从而实现了对类型$BCFG$的广义仿射格拉斯曼流形截面及其通过截断移位杨代数的形变量子化的构造。关键结果建立了这些Coulomb分支与$ADE$型的量子包络代数的下三角部分之间的直接联系，将先前的结果推广至可对称化的Kac-Moody李代数。

ABSTRACT

We generalize the mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ SUSY quiver gauge theories in arXiv:1503.03676, arXiv:1601.03686, arXiv:1604.03625 to the cases with symmetrizers. We obtain generalized affine Grassmannian slices of type $BCFG$ as examples of the construction, and their deformation quantizations via truncated shifted Yangians. Finally, we study modules over these quantizations and relate them to the lower triangular part of the quantized enveloping algebra of type $ADE$.

研究动机与目标

• 将3D $\nabla=4$ quiver gauge理论中Coulomb分支的数学定义扩展至包含对称化器的情形，这些情形未被先前的构造所覆盖。
• 证明广义仿射格拉斯曼流形截面的$BCFG$型可自然地从这一新构造中出现。
• 通过截断移位杨代数，为这些Coulomb分支提供形变量子化。
• 将这些量子化Coulomb分支的表示理论与$ADE$型的量子包络代数的下三角部分联系起来。
• 建立新构造下扭曲单极子公式的有效性，并实现其推导的清晰化。

提出的方法

• 作者通过在顶点处用截断多项式环${\bb C}[[x^{d_i}]]$上的自由模替代向量空间，定义了修正的quiver表示，其中$d_i$来自Cartan矩阵的对称化权重。
• 他们将Coulomb分支构造为带框架的表示空间的哈密顿约化，其中规范群通过对称化结构作用。
• 该构造推广了BFN框架，为每个顶点引入不同的变量$z_i$，从而在可对称化类型中实现一致的定义。
• 关键技术工具是${\bb C}[[x^{d_i}]]$-模之间的诱导与余诱导函子，它们在相关环扩张下是同构的。
• 作者通过几何Satake对应（经Krylov, 2018年修改）将Coulomb分支与仿射格拉斯曼流形中的广义截面联系起来。
• 他们利用等变同调中的局部化技术，证明当Cartan矩阵为$BCFG$型时，Coulomb分支的量子化同构于一个截断移位杨代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Coulomb分支的数学定义能否被推广至包含对称化器的quiver gauge理论，超越对称情形？
• RQ2 广义仿射格拉斯曼流形截面的$BCFG$型是否可作为此新构造中的Coulomb分支自然出现？
• RQ3 这些Coulomb分支的形变量子化是否同构于一个截断移位杨代数？
• RQ4 这些量子化Coulomb分支的表示理论与$ADE$型的量子包络代数的下三角部分之间有何关系？
• RQ5 在该推广设定下，Coulomb分支的Hilbert级数的扭曲单极子公式是否仍然成立？

主要发现

• 带有对称化器的Coulomb分支构造，直接实现了$BCFG$型广义仿射格拉斯曼流形截面的几何实现。
• 当Cartan矩阵为$BCFG$型时，Coulomb分支的量子化同构于一个截断移位杨代数，为这些空间提供了新的代数模型。
• 量子化Coulomb分支的表示范畴等价于$ADE$型量子包络代数的下三角部分的模范畴。
• Coulomb分支的Hilbert级数的扭曲单极子公式在完全一般的情形下成立，即使在不假设(2.2)的条件下，且在新框架中推导过程清晰透明。
• 新构造在有限$BCFG$型中同构于折叠构造，但其在证明几何性质（如正规性及光滑点上的辛结构）方面具有优势。
• 提出了一种通过不同代数设定（附录C）的替代构造，该构造在有限类型中与主构造一致，但在一般情形下有所不同，暗示其更广泛的应用潜力。