[论文解读] Countable ordinal spaces and compact countable subsets of a metric space

Borys Álvarez-Samaniego, Andrés Merino|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Advanced Topology and Set Theory被引用 3

一句话总结

本文证明了度量空间中任意紧致可数子集都同胚于一个可数序数，将Mazurkiewicz与Sierpinski的经典结果从欧氏空间推广至任意度量空间。作者利用超限归纳法与Cantor-Bendixson导出过程，证明任意度量空间中此类子集的同胚类数量至多为ℵ₁，并构造了示例表明该上界对可数与不可数空间均是紧致的。

ABSTRACT

We show in detail that every compact countable subset of a metric space is homeomorphic to a countable ordinal number, which extends a result given by Mazurkiewicz and Sierpinski for finite-dimensional Euclidean spaces. In order to achieve this goal, we use Transfinite Induction to construct a specific homeomorphism. In addition, we prove that for all metric space $(E,d)$, the cardinality of the set of all the equivalence classes $\mathscr{K}_E$, up to homeomorphisms, of compact countable subsets of $E$ is less than or equal to $\aleph_1$, i.e. $|\mathscr{K}_E| \le \aleph_1$. We also show that for all cardinal number $κ$ smaller than or equal to $\aleph_1$, there exists a metric space $(E_κ, d_κ)$ such that $|\mathscr{K}_{E_κ}|= κ$.

研究动机与目标

• 将Mazurkiewicz与Sierpinski的经典结果（即欧氏空间中的紧致可数子集同胚于可数序数）推广至任意度量空间。
• 利用超限归纳法与Cantor-Bendixson导出过程，刻画度量空间中紧致可数子集的结构。
• 确定任意度量空间中紧致可数子集的同胚类集合的最大可能基数。
• 构造度量空间，使其紧致可数子集的同胚类数量恰好取遍所有≤ℵ₁的基数。

提出的方法

• 对Cantor-Bendixson导出过程使用超限归纳法，构造任意度量空间中紧致可数子集与可数序数之间的同胚映射。
• 为可数闭集D定义Cantor-Bendixson特征(α, p)，其中α为满足D^(α)有限的最小序数，且|D^(α)| = p。
• 利用Cantor-Bendixson特征对紧致可数子集进行同胚分类，证明两个此类集合同胚当且仅当其特征相同。
• 证明将每个同胚类映射至其Cantor-Bendixson特征的映射是单射，从而得出同胚类数量的上界为|ω₁ × ω| = ℵ₁。
• 构造特定度量空间：有限离散空间用于实现有限类数，可数离散空间（如ℚ）用于实现ℵ₀类，不可数离散空间用于实现ℵ₀类。
• 利用ℚ在ℝ中的稠密性，证明ℚ支持ℵ₁个非同胚的紧致可数子集，且每个子集具有不同的Cantor-Bendixson特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意度量空间中的紧致可数子集是否可同胚嵌入到配备序拓扑的可数序数中？
• RQ2 度量空间中紧致可数子集的同胚类的最大可能数量是多少？
• RQ3 对于哪些基数κ ≤ ℵ₁，存在一个度量空间，其紧致可数子集的同胚类集合的大小恰好为κ？
• RQ4 Cantor-Bendixson导出过程如何完全分类度量空间中的紧致可数子集？

主要发现

• 任意度量空间中的紧致可数子集都同胚于一个可数序数，将Mazurkiewicz与Sierpinski的结果从欧氏空间推广至任意度量空间。
• 任意度量空间(E,d)中紧致可数子集的同胚类集合的基数至多为ℵ₁，即|𝒦_E| ≤ ℵ₁。
• 对每个有限n ∈ ω，存在一个度量空间(E_n, d_n)，使得|𝒦_{E_n}| = n，该结果通过有限离散空间实现。
• 存在一个可数度量空间（例如ℚ配备通常度量），使得|𝒦_ℚ| = ℵ₁，表明ℵ₁的上界是紧致的。
• 存在一个不可数度量空间（例如ℝ配备离散度量），使得|𝒦_ℝ| = ℵ₀，表明环境空间的不可数性并不意味着存在不可数多个同胚类。
• Cantor-Bendixson特征(α, p)完全分类了紧致可数子集的同胚类型：两个此类集合同胚当且仅当其具有相同的特征。