[论文解读] Countably-Normed Spaces, Their Dual, and the Gaussian Measure

Jeremy J. Becnel|ArXiv.org|Jul 12, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文建立了在核空间的对偶上构造高斯测度的理论基础，利用可数赋范空间及其拓扑结构。证明了对偶空间上的弱拓扑、强拓扑和归纳拓扑生成相同的σ-代数，从而可通过Minlos定理在对偶空间上唯一构造出标准高斯测度（白噪声测度），这是白噪声分析的基础。

ABSTRACT

Here we present an overview of countably-normed spaces. We discuss the main topologies--weak, strong, and inductive--placed on the dual of a countably-normed space and discuss the sigma-fields generated by these topologies. In particular, we show that under certain conditions the strong and inductive topologies coincide and the sigma-fields generated by the weak, strong, and inductive topologies are equal. With these sigma-fields, we develop a Gaussian measure on the dual of a nuclear space. The purpose in mind is to provide the background material for many of the results used is White Noise Analysis.

研究动机与目标

• 建立在无限维对偶空间上定义高斯测度的拓扑与测度论框架。
• 证明在特定条件下，可数赋范空间对偶上的弱拓扑、强拓扑和归纳拓扑所生成的σ-代数一致。
• 利用希尔伯特-施密特算子和标准正交基，在核空间的对偶上构造唯一的标准高斯测度。
• 提供无限维概率与随机过程领域中白噪声分析所必需的基础工具。

提出的方法

• 将可数赋范空间定义为由正定希尔伯特-施密特算子诱导的递减范数的希尔伯特空间的交集。
• 在对偶空间上赋予弱拓扑、强拓扑和归纳拓扑，并在核性条件下证明其生成的σ-代数相等。
• 在ℝ^W上通过每个坐标上独立的标准正态分布构造乘积高斯测度ν，确保加权和的矩有限。
• 通过原始希尔伯特空间E的标准正交基{e_j}诱导的同构，将测度ν转移到对偶空间ℰ′上。
• 利用坐标投影的拉回定义ℰ′上的σ-代数，该代数对应于弱拓扑，并等于强拓扑和归纳拓扑所生成的σ-代数。
• 应用Minlos定理，确认在ℰ′上存在唯一的概率测度μ，使得泛函∫e^{it⟨f,e_j⟩}dμ(f) = e^{-t²/2}成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可数赋范空间对偶上的强拓扑与归纳拓扑一致？
• RQ2 核空间对偶上弱拓扑、强拓扑与归纳拓扑所生成的σ-代数之间存在何种关系？
• RQ3 如何在由希尔伯特-施密特算子导出的核空间对偶上一致地定义高斯测度？
• RQ4 标准正交基与希尔伯特-施密特嵌入在构造白噪声测度中起什么作用？
• RQ5 从ℝ^W拉回的乘积高斯测度如何在核空间对偶上诱导出一个良定义的概率测度？

主要发现

• 当空间为核空间时，可数赋范空间对偶上的强拓扑与归纳拓扑一致，其依据是递减希尔伯特空间范数的结构。
• 核空间对偶上弱拓扑、强拓扑与归纳拓扑所生成的σ-代数相等，从而建立了统一的测度论框架。
• 在对偶空间ℰ′上存在唯一的标准高斯测度μ，使得每个泛函f ↦ f(e_j)的特征函数为e^{-t²/2}，满足标准高斯性质。
• 该测度μ几乎必然地支撑在F_{-p}上（对所有p ≥ 1），意味着对偶空间几乎必然包含于具有权重λ_j^{2p}的加权ℓ²空间中。
• 该构造通过实现E与ℰ′上平方可积泛函空间之间的典范同构，为白噪声分析提供了严格的理论基础。
• 所得测度μ即为标准白噪声测度，其特征性质为∫e^{it⟨f,ξ⟩}dμ(f) = e^{-t²|ξ|²/2}对所有ξ ∈ E和t ∈ ℝ成立。