[论文解读] Counter-examples of high Clifford index to Prym-Torelli

Elham Izadi, Herbert Lange|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文通过利用具有到基曲线的度-$n$ 映射的曲线的 étale 双覆盖上的四次构造，构建了任意高 Clifford 指数的曲线的 Prym-Torelli 定理反例。它证明了即使底层曲线的 Clifford 指数超过任意给定界限，Prym 映射仍然不是单射，通过显式同构和上同调计算表明，Prym 代数曲线中的某些曲线代表了最小类的倍数。

ABSTRACT

We give examples of curves of arbitrarily high Clifford index such that the Prym map is not injective at any of their étale double covers.

研究动机与目标

• 为反驳关于在 Clifford 指数 ≥ 3 的曲线的 étale 双覆盖上 Prym 映射是单射的猜想。
• 构造具有任意高 Clifford 指数的显式例子，其中 Prym 映射不是单射。
• 将 Donagi 的四次构造推广到任意基曲线 $Y$（而不仅是 $\mathbb{P}^1$），并证明相关 Prym 代数曲线的同构性。
• 研究 Prym 代数曲线中的上同调类，并证明它们代表最小类 $[\Theta]^{g-2}/(g-2)!$ 的倍数。
• 为 Donagi 在四次构造下 Prym 代数曲线同构的定理提供一种新的、显式的证明，适用于任意基曲线 $Y$。

提出的方法

• 构造一个曲线塔 $\widetilde{X} \xrightarrow{\kappa} X \xrightarrow{\rho_n} Y$，其中 $\kappa$ 是非分支双覆盖，$\rho_n$ 是单分支的 $n$-叶覆盖。
• 将曲线 $\widetilde{C} \subset \widetilde{X}^{(n)}$ 定义为 $\widetilde{X}^{(n)} \to X^{(n)}$ 与 $Y \to X^{(n)}$ 的纤维积，参数化 $Y$ 中点在 $\widetilde{X}$ 上的提升。
• 利用 $\widetilde{C}$ 上的对合 $\sigma$ 将其分解为两个分量 $\widetilde{C}_1$ 和 $\widetilde{C}_2$，每个分量通过四次构造生成一个 Prym 代数曲线。
• 建立 Prym 代数曲线 $P$（对应于 $\kappa: \widetilde{X} \to X$）与广义 Prym $P_\nu$（对应于 $\widetilde{X}_\nu \to X_\nu$）之间的同构 $\alpha: P \to P_\nu$，其核的阶为 $2^{ng_Y - 1}$。
• 证明同构 $\alpha$ 满足 $\alpha^*\Theta_{P_\nu} = 2\Theta_P$，从而导出对偶同构 $\beta: P_\nu \to P$，满足 $\beta^*\Theta_P = 2\Theta_{P_\nu}$。
• 应用 Poincaré 对偶性和度数计算，关联上同调类的推出，最终证明 $[\widetilde{C}_i] = 2^{n-1} \frac{[\Theta_P]^{g_X - 2}}{(g_X - 2)!}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Clifford 指数 ≥ 3 的曲线的 étale 双覆盖，Prym 映射是否在一般情况下是单射？
• RQ2 四次构造能否推广到 $Y$ 不是 $\mathbb{P}^1$ 的其他基曲线，以产生同构的 Prym 代数曲线？
• RQ3 Prym 代数曲线中的曲线是否代表最小上同调类 $[\Theta]^{g-2}/(g-2)!$ 的倍数？
• RQ4 能否显式构造 Prym 代数曲线之间的同构，并利用对应理论证明其为同构？
• RQ5 在 Prym 代数曲线 $P$ 中，$\widetilde{C}_i$ 的像的精确上同调类是什么？

主要发现

• 对于任意整数 $N$，存在一个 Clifford 指数至少为 $N$ 的曲线 $X$，使得在 $X$ 的任何 étale 双覆盖上，Prym 映射都不是单射，从而反驳了‘高 Clifford 指数意味着单射’的猜想。
• 在小的一般性假设下，曲线 $\widetilde{C} \subset \widetilde{X}^{(n)}$ 的两个分量 $\widetilde{C}_1$ 和 $\widetilde{C}_2$ 所关联的 Prym 代数曲线是同构的，即使 $Y$ 不是 $\mathbb{P}^1$。
• 同构 $\alpha: P \to P_\nu$ 的度为 $2^{ng_Y - 1}$，其对偶 $\beta$ 满足 $\beta^*\Theta_P = 2\Theta_{P_\nu}$，从而导致对推出类的精确上同调计算。
• 在 Prym 代数曲线 $P$ 中，$\widetilde{C}_i$ 的像的类为 $[\widetilde{C}_i] = 2^{n-1} \frac{[\Theta_P]^{g_X - 2}}{(g_X - 2)!}$，表明它代表了最小类的倍数。
• 对 Prym 代数曲线同构性的证明为 $Y = \mathbb{P}^1$ 情况下的 Donagi 定理提供了第三种证明，独立于退化法和上同调方法。
• 该构造适用于任意 $n \geq 3$，将四次构造推广到更高阶覆盖，并在 Prym 代数曲线中产生具有可控上同调类的曲线。