[论文解读] Counter Machines with Infrequent Reversals

Mario Grobler, Leif Sabellek+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文引入并分析了无限字上的确定性和非确定性帕里克自动机（PA），定义了新的变体，如可及性正则、极限、弱重置和强重置PA。研究建立了其封闭性质，证明了空性问题与交集空性问题的可判定性，并证明了确定性极限、可及性正则和Büchi PA的coNP-完全性，同时表明确定性强重置和弱重置PA的空性问题是不可判定的。主要贡献在于对无限字上PA的表达力与算法性质进行了全面分类，为模型检测与综合应用提供了支持。

ABSTRACT

Bounding the number of reversals in a counter machine is one of the most prominent restrictions to achieve decidability of the reachability problem. Given this success, we explore whether this notion can be relaxed while retaining decidability. To this end, we introduce the notion of an f-reversal-bounded counter machine for a monotone function f: ℕ → ℕ. In such a machine, every run of length n makes at most f(n) reversals. Our first main result is a dichotomy theorem: We show that for every monotone function f, one of the following holds: Either (i) f grows so slowly that every f-reversal bounded counter machine is already k-reversal bounded for some constant k or (ii) f belongs to Ω(log(n)) and reachability in f-reversal bounded counter machines is undecidable. This shows that classical reversal bounding already captures the decidable cases of f-reversal bounding for any monotone function f. The key technical ingredient is an analysis of the growth of small solutions of iterated compositions of Presburger-definable constraints. In our second contribution, we investigate whether imposing f-reversal boundedness improves the complexity of the reachability problem in vector addition systems with states (VASS). Here, we obtain an analogous dichotomy: We show that either (i) f grows so slowly that every f-reversal-bounded VASS is already k-reversal-bounded for some constant k or (ii) f belongs to Ω(n) and the reachability problem for f-reversal-bounded VASS remains Ackermann-complete. This result is proven using run amalgamation in VASS. Overall, our results imply that classical restriction of reversal boundedness is a robust one.

研究动机与目标

• 将帕里克自动机扩展至无限字，通过引入可及性正则、极限、弱重置和强重置PA等新变体。
• 分析这些模型在无限字上的封闭性质、表达力与算法可判定性。
• 研究核心决策问题（尤其是交集空性与空性问题）的复杂性，涵盖确定性与非确定性变体。
• 将新模型与现有无限字上的计数自动机（如Büchi VASS与盲计数器自动机）进行比较。
• 探索在模型检测与综合中的应用，特别是通过正则可分性问题与Gale-Stewart博弈。

提出的方法

• 提出四类适用于无限字的帕里克自动机新类：可及性正则、极限、弱重置与强重置PA，各类具有不同的接受条件。
• 使用带状态的向量加法系统（VASS）进行乘积构造，以模拟运行并验证接受条件，尤其用于交集空性问题。
• 应用零测试与重置机制，验证计数器值并检测坏前缀，利用先前工作[HZ21]中的NP算法进行验证。
• 通过归约与构造方法，证明确定性极限、可及性正则与Büchi PA的coNP-完全性，将其归约为已知可判定问题。
• 通过构造一个空性问题不可判定的确定性自动机，证明确定性强重置与弱重置PA的空性问题是不可判定的。
• 使用无关性算法与向量猜测技术，验证乘积自动机中各组件的计数器值约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 非确定性与确定性帕里克自动机在无限字上的封闭性质是什么？
• RQ2 哪些无限字上的帕里克自动机变体具有可判定的空性与交集空性问题？
• RQ3 新PA变体在表达力与可判定性方面与Büchi VASS与盲计数器自动机等现有模型相比如何？
• RQ4 能否高效求解确定性极限、可及性正则与Büchi PA的交集空性问题？
• RQ5 帕里克自动机在无限字上的正则可分性问题是否可判定？其是否可作为模型检测中交集空性问题的替代方案？

主要发现

• 确定性极限帕里克自动机在布尔运算下封闭，支持可判定的模型检测问题。
• 确定性极限PA、确定性可及性正则PA与确定性Büchi PA的交集空性问题是coNP-完全的。
• 确定性强重置PA与弱重置PA的交集空性问题是不可判定的，通过归约为一个不可判定的空性问题在确定性构造中的结果得以证明。
• 尽管表达力较强，(强)重置PA的空性问题仍保持可判定性。
• 结果可扩展至存在性模型检测：(强)重置PA的安全性模型检测问题是可判定的。
• 本文提出一个开放问题：基于其决策问题的coNP-完全性，确定性极限PA定义的获胜条件下的Gale-Stewart博弈是否可判定。