[论文解读] Counterexamples for Local Isometric Embedding

Nikolaï Nadirashvili, Yu Yuan|ArXiv.org|Aug 16, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文在 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 上构造了具有非正或符号改变的高斯曲率的光滑黎曼度量，这些度量在 $\mathbb{R}^3$ 中不存在局部 $C^3$ 或 $C^{3,\alpha}$ 等距嵌入。构造方法通过在原点附近进行递归的、尺度不变的平坦度量修改，强制使第二基本形式在原点及嵌套环形区域上消失，当假设此类嵌入存在时，利用最大值原理导致矛盾。

ABSTRACT

We construct smooth metrics on 2-manifold with nonpositive Gauss curvature which cannot be (C^3) locally isometrically embedded in R^3. Moreover, the Gauss curvature of the metric can be made negative except for one point.

研究动机与目标

• 证明在 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 上存在光滑度量，其具有非正高斯曲率，但无法在 $\mathbb{R}^3$ 中局部等距嵌入。
• 通过构造满足 $K_g \leq 0$ 且 $K_g(0) = 0$、$K_g(x) < 0$ 对 $x \neq 0$ 成立的度量，扩展先前的反例，这些度量仍无法实现 $C^{3,\alpha}$ 等距嵌入。
• 提供一种构造性、尺度不变的方法，将非可嵌入的局部度量嵌入嵌套环形区域中，确保在原点附近保持全局不可嵌入性。
• 通过展示即使在有利的曲率假设下，曲率符号条件本身也不足以保证 $\mathbb{R}^3$ 中的局部等距嵌入，从而解决关于是否仅凭曲率符号条件即可保证局部等距嵌入的开放问题。

提出的方法

• 通过在嵌套环形区域 $A^n = B_{1/n} \setminus B_{1/(n+1)}$ 上对平坦度量 $dx^2$ 进行修改，构造 $B_1$ 上的度量 $g = e^{2u} dx^2$，使用具有紧支集的光滑截断函数 $\varphi_n$。
• 通过在修改区域添加“尾部”来确保修改后的度量在整个区域上满足 $K_g \leq 0$，同时保持非正曲率并强制实现局部不可嵌入性。
• 采用递归构造：对每个 $n$，在 $A^n$ 上定义一个不可 $C^3$ 嵌入的度量，并通过调整扰动振幅 $\mu_n$ 确保全局度量 $g = e^{2(u_0 + v)}dx^2$ 的光滑性。
• 对任何假设的等距嵌入的图表示 $x_3 = f(x_1,x_2)$ 应用最大值原理：若在 $\partial\Omega$ 上有 $D^2f = 0$ 且在 $\Omega$ 内有 $\det D^2f < 0$，则 $f \equiv 0$，从而与此类嵌入的存在性矛盾。
• 定义 $C^{3,\alpha}$ 等距嵌入范数 $\| (\Omega,g) \|_E = \inf \| II(i(\Omega)) \|_{C^{1,\alpha}}$ 以量化不可嵌入性，并证明其在每个环形区域 $A^n$ 上发散。
• 使用趋于零的序列 $\eta_n \to 0$ 构造全局度量 $g = g_\Psi$，使得 $\| (A^n, g) \|_E \geq n$，从而证明在原点附近对任意 $r > 0$，均不存在 $C^{3,\alpha}$ 嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个在 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 上的光滑度量，其满足 $K_g \leq 0$，但无法在 $\mathbb{R}^3$ 中实现局部 $C^3$ 等距嵌入？
• RQ2 是否存在一个光滑度量，满足 $K_g(0) = 0$ 且对 $x \neq 0$ 有 $K_g(x) < 0$，但无法在 $\mathbb{R}^3$ 中实现局部 $C^{3,\alpha}$ 等距嵌入？
• RQ3 能否将不可嵌入的局部度量递归地嵌入嵌套环形区域中，以生成一个在原点仍不可嵌入的全局度量？
• RQ4 当假设存在 $C^3$ 或 $C^{3,\alpha}$ 嵌入时，若第二基本形式在原点不消失，是否会在最大值原理下导致矛盾？
• RQ5 能否使 $C^{3,\alpha}$ 嵌入范数在环形区域 $A^n$ 上变得任意大，从而排除对整个球 $B_r(0)$ 的任何局部 $C^{3,\alpha}$ 嵌入？

主要发现

• 存在一个在 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 上的光滑度量 $g$，满足 $K_g \leq 0$，使得对任意 $r > 0$，$B_r(0)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中均不存在 $C^3$ 等距嵌入，从而证明了定理 1.1。
• 存在一个在 $B_1$ 上的光滑度量 $g$，满足 $K_g(0) = 0$ 且对 $x \neq 0$ 有 $K_g(x) < 0$，使得对任意 $r > 0$ 和 $\alpha > 0$，$B_r(0)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中均不存在 $C^{3,\alpha}$ 等距嵌入，从而证明了定理 1.2。
• 该构造确保对所有 $n \in \mathbb{N}$ 有 $\| (A^n, g) \|_E \geq n$，意味着 $C^{3,\alpha}$ 嵌入范数发散，这表明在原点附近不可能存在此类嵌入。
• 全局度量 $g = g_\Psi$ 是光滑的，且在 $B_1$ 上满足 $K_g \leq 0$，其中 $K_g(x) < 0$ 对 $x \neq 0$ 成立，$K_g(0) = 0$，确认曲率条件不足以保证局部 $C^{3,\alpha}$ 嵌入性。
• 矛盾源于假设存在 $C^3$ 嵌入：第二基本形式在区域 $\Omega$ 的边界上消失，且图函数 $f$ 的 Hessian 矩阵在 $\partial\Omega$ 上消失，通过最大值原理迫使 $f \equiv 0$，与曲率条件 $\det D^2f < 0$ 矛盾。
• 该方法构造的度量不仅属于 $C^\infty$，还满足对所有 $\epsilon \in l^\infty$ 有 $\sum_{n=1}^\infty \epsilon_n \varphi_n$ 光滑，从而确保最终度量 $g$ 的全局光滑性。