[论文解读] Counterexamples to the Cubic Graph Domination Conjecture

Alexander Kelmans|ArXiv.org|Jul 20, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 12

一句话总结

本文通过构造一个无限序列的3-正则2-连通图（Rₖ），推翻了里德1996年提出的猜想，即每个3-正则2-连通图的支配数至多为⌈v(G)/3⌉。该序列满足ρ(Rₖ) = 1/3 + 1/60，且当k增大时，支配数超过v(Rₖ)/3的部分可任意大。此外，本文还为1-连通图构造了改进的反例，并提出了关于3-连通3-正则图的更强猜想。

ABSTRACT

Let v(G) and dom(G) denote the number of vertices and the domination number of a graph G, and let r (G) = dom(G)/v(G)$. Let [x] and ]x[ be the floor and the ceiling of a number x. In 1996 B. Reed conjectured that if G is a cubic graph, then dom(G) is at most ]v(G)/3[. In 2005 A. Kostochka and B. Stodolsky disproved this conjecture for cubic graphs of connectivity one and maintained that the conjecture may still be true for 2-connected cubic graphs. Their minimum counterexample C has 4 bridges, v(C) = 60, anddom (C) = 21. In this paper we disprove Reed's conjecture for 2-connected cubic graphs by providing a sequence (R(k): k > 2) of cubic graphs of connectivity two with r(R_k) = 1/3 + 1/60, where v(R(k+1)) > v(R(k)) > v(R(3)) = 60 for k > 3, and so dom(R(3)) = 21$ and dom(R(k)) - ]v(R(k))/3[ tends to infinity when k tends to infinity. We also provide a sequence of (L_s: s > 0) of cubic graphs of connectivity one with r(L(s)) > 1/3 + 1/60. The minimum counterexample L = L(1) in this sequence is `better' than C in the sense that L has 2 bridges while C has 4 bridges, v(L) = 54 < 60 = v(C), and r(L) = 1/3 + 1/54} > 1/3 + 1/60 = r(C). We also give a construction providing for every t in {0,1,2} infinitely many cubic cyclically 4-connected Hamiltonian graphs G(t) such that v(G(t)) = t mod 3, t in {0,2} implies dom(G(t)) = ]v(G(r))/3[, and t = 1 implies dom(G(t)) = [v(G(r))/3]. At last we suggest a stronger conjecture on domination in cubic 3-connected graphs.

研究动机与目标

• 推翻里德1996年提出的猜想：对所有3-正则2-连通图均有γ(G) ≤ ⌈v(G)/3⌉。
• 构造显式家族的3-正则图，其支配比严格超过1/3，证明该猜想界不成立。
• 通过减少桥数和顶点数，同时提高支配比，改进先前的反例。
• 探讨在不同连通性条件下（特别是3-连通性）3-正则图中支配界紧致性的程度。
• 基于顶点数模3的结果，提出关于3-正则3-连通图支配性的更强、更精确的猜想。

提出的方法

• 构造一个无限序列（Rₖ: k ≥ 3）的3-正则2-连通图，满足v(Rₖ+1) > v(Rₖ) > 60且ρ(Rₖ) = 1/3 + 1/60。
• 使用图替换操作：将边或顶点替换为特定子图（如H、U），以保持3-正则性并控制连通性。
• 应用数学归纳法与结构分析，证明γ(Rₖ) = 2k+1且v(Rₖ) = 6k，从而得出当k → ∞时，γ(Rₖ) − ⌈v(Rₖ)/3⌉ → ∞。
• 引入一个新的序列（Lᵣ: r ≥ 1）的3-正则1-连通图，满足ρ(Lᵣ) = 7/20 + 1/(200r + 340)，收敛于7/20。
• 构造无限家族（Gᵣ）的循环4-连通哈密顿3-正则图，满足v(Gᵣ) ≡ r mod 3，且当r ∈ {0,2}时γ(Gᵣ) = ⌈v(Gᵣ)/3⌉，当r = 1时γ(Gᵣ) = ⌊v(Gᵣ)/3⌋。
• 提出一个新猜想（3.5）：对于3-正则3-连通图，若v(G) ≠ 1 mod 3，则γ(G) ≤ ⌈v(G)/3⌉；若v(G) ≡ 1 mod 3，则γ(G) ≤ ⌊v(G)/3⌋。

实验结果

研究问题

• RQ1 里德猜想：对所有3-正则2-连通图均有γ(G) ≤ ⌈v(G)/3⌉，是否可被推翻？
• RQ2 3-正则2-连通图中可实现的最小支配比是多少？能否超过1/3？
• RQ3 能否为1-连通3-正则图构造桥数更少、阶数更小的反例？
• RQ4 是否存在无限家族的循环4-连通哈密顿3-正则图，其支配数可基于顶点数模3进行控制？
• RQ5 是否存在关于3-正则3-连通图支配数的更强、更精确的界？

主要发现

• 本文构造了一个无限序列（Rₖ）的3-正则2-连通图，满足ρ(Rₖ) = 1/3 + 1/60，证明当k → ∞时，γ(Rₖ) − ⌈v(Rₖ)/3⌉ → ∞。
• 最小的2-连通反例R₃满足v(R₃) = 60，γ(R₃) = 21，故ρ(R₃) = 7/20 = 1/3 + 1/60。
• 为1-连通图提出的新反例L₁满足v(L₁) = 54，仅含2条桥，且ρ(L₁) = 1/3 + 1/54 > 1/3 + 1/60 = ρ(C)，优于先前的最小反例C。
• 对每个r ∈ {0,1,2}，本文构造了无限家族的循环4-连通哈密顿3-正则图Gᵣ，满足v(Gᵣ) ≡ r mod 3，且当r ∈ {0,2}时γ(Gᵣ) = ⌈v(Gᵣ)/3⌉，当r = 1时γ(Gᵣ) = ⌊v(Gᵣ)/3⌋。
• 所提出的猜想3.5指出：对3-正则3-连通图，若v(G) ≠ 1 mod 3，则γ(G) ≤ ⌈v(G)/3⌉；若v(G) ≡ 1 mod 3，则γ(G) ≤ ⌊v(G)/3⌋。该猜想被证明是紧致的，且与哈密顿图的已知结果一致。