[论文解读] Counterexamples to the List Square Coloring Conjecture

Seog‐Jin Kim, Boram Park|arXiv (Cornell University)|May 12, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文通过构造，对每个素数 $ n \geq 3 $，构造一个图 $ G $，使得 $ G^2 $ 为完全多部图 $ K_{n*(2n-1)} $，从而否定了列表平方着色猜想。证明了 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $，展示了无穷多个反例，并表明图平方中列表色数与色数之间的差距可任意大。

ABSTRACT

The square $G^2$ of a graph $G$ is the graph defined on $V(G)$ such that two vertices $u$ and $v$ are adjacent in $G^2$ if the distance between $u$ and $v$ in $G$ is at most 2. Let $χ(H)$ and $χ_l(H)$ be the chromatic number and the list chromatic number of $H$, respectively. A graph $H$ is called {\em chromatic-choosable} if $χ_l (H) = χ(H)$. It is an interesting problem to find graphs that are chromatic-choosable. Kostochka and Woodall \cite{KW2001} conjectured that $χ_l(G^2) = χ(G^2)$ for every graph $G$, which is called List Square Coloring Conjecture. In this paper, we give infinitely many counterexamples to the conjecture. Moreover, we show that the value $χ_l(G^2) - χ(G^2)$ can be arbitrary large.

研究动机与目标

• 为否定列表平方着色猜想，该猜想认为对所有图 $ G $，有 $ \chi_l(G^2) = \chi(G^2) $。
• 构造显式反例，使得 $ \chi_l(G^2) > \chi(G^2) $，从而推翻该猜想。
• 证明差值 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $ 可被任意放大。
• 确立完全多部图 $ K_{n*(2n-1)} $ 作为生成此类反例的关键结构。

提出的方法

• 使用 $ n^2 $ 个顶点 $ P $ 和 $ n(n-1) $ 个顶点 $ Q $ 构造图 $ G $，通过阶为 $ n $ 的正交拉丁方定义边。
• 定义 $ L_i(j,k) = j + i(k-1) \mod n $，当 $ n $ 为素数时，该族包含 $ n-1 $ 个相互正交的拉丁方。
• 证明在 $ G^2 $ 中，由 $ P $ 诱导的子图是 $ K_{n*n} $，其部分集为 $ P_1, \dots, P_n $，由 $ Q $ 诱导的子图是 $ K_{n*(n-1)} $，其部分集为 $ Q_1, \dots, Q_{n-1} $。
• 通过边不相交团分解和计数论证，证明 $ G^2 $ 同构于 $ K_{n*(2n-1)} $，即具有 $ 2n-1 $ 个大小为 $ n $ 的部分集的完全多部图。
• 应用定理 2.10，对 $ K_{n*(2n-1)} $ 的列表色数进行上界估计，证明 $ \chi_l(K_{n*(2n-1)}) > (n-1)\lfloor (4n-3)/n \rfloor \geq 3(n-1) $。
• 得出结论：$ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $，且对所有素数 $ n \geq 3 $，等式可能成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在图 $ G $，使得 $ \chi_l(G^2) \neq \chi(G^2) $，从而与列表平方着色猜想矛盾？
• RQ2 是否可以使差值 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $ 任意大？
• RQ3 是否存在无穷多个列表平方着色猜想的反例？
• RQ4 完全多部图 $ K_{n*(2n-1)} $ 是否可作为某个图 $ G $ 的 $ G^2 $ 实现？

主要发现

• 对每个素数 $ n \geq 3 $，存在一个图 $ G $，使得 $ G^2 = K_{n*(2n-1)} $，即一个具有 $ 2n-1 $ 个大小为 $ n $ 的部分集的完全多部图。
• 色数 $ \chi(G^2) = 2n-1 $，因为 $ K_{n*(2n-1)} $ 需要 $ 2n-1 $ 种颜色才能实现正确着色。
• 列表色数 $ \chi_l(G^2) > (n-1)\lfloor (4n-3)/n \rfloor \geq 3(n-1) $，意味着 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $。
• 随着 $ n $ 取遍所有素数，差值 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $ 可被任意放大。
• 由于存在无穷多个素数，因此存在无穷多个列表平方着色猜想的反例。
• 该构造依赖于阶为 $ n $ 的 $ n-1 $ 个相互正交拉丁方的存在性，当 $ n $ 为素数时，此类拉丁方存在。