[论文解读] Counterexamples to Theorem 1 of Turyn's and Storer's Paper "On Binary Sequences"

Jürgen Willms|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了对Turyn与Storer在1961年发表的奠基性论文《On Binary Sequences》中定理1(iv)的显式反例，表明广为人知的定理2（即不存在长度大于13的奇数长度Barker序列）的证明因依赖于有缺陷的定理而无效。作者证明，若不进行重大修改，原始框架下无法修复定理2的证明。

ABSTRACT

Explicit counterexamples to Theorem 1 of R. Turyn's and J. Storer's often-cited paper "On Binary Sequences" [Proc. Amer. Math. Soc., vol. 12, no. 3, pp. 394-399, 1961] are given. Theorem 2 of their paper is well known; it states that Barker sequences of odd length n>13 do not exist. Since the proof of Theorem 2 relies on the incorrect Theorem 1, the proof of the often-cited Theorem 2 is therefore not correct. It is not at all clear how Theorem 1 and its proof must be modified in order to get a correct proof of the well-known Theorem 2.

研究动机与目标

• 识别并呈现Turyn与Storer论文《On Binary Sequences》中定理1(iv)的显式反例。
• 证明定理2（即不存在长度大于13的奇数长度Barker序列）的证明因依赖于错误的定理1而无效。
• 质疑广泛引用的定理2证明的有效性，该证明在序列设计与编码理论中具有基础性意义。
• 阐明原始证明结构无法在不大幅修改定理1及其支持引理的前提下得以修复。
• 强调必须采用不依赖于有缺陷的定理1(iv)的替代方法来证明定理2。

提出的方法

• 构造具有特定游程长度编码的二元序列，如(3,3,6,3,2,2)和(5,5,10,5,4,4)，以生成反例。
• 定义序列 $ x $，其中 $ x_i \in \{-1,1\} $，并将 $ p $ 设为前导1的游程长度，且 $ p \geq 3 $。
• 验证 $ x $ 满足方程 (k) 对于 $ 1 \leq k \leq t $，其中 $ t $ 取值为9或16，满足定理1的假设条件。
• 定义导出序列 $ z_j = x_{p(j-1)+1} $，定理1(iv)声称该序列满足方程 (k) 对于 $ k \leq t/p $。
• 测试 $ z $ 是否满足方程 (k) 对于 $ k=3 $ 和 $ k=5 $，结果表明其在多个情况下不成立。
• 分析游程长度编码中的模式，如 $ (p,p,2p,p,p-1,p-1,\dots) $，以生成适用于各种 $ p \geq 3 $ 的反例族。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在二元序列，使得Turyn与Storer论文中的定理1(iv)不成立，即使其满足该定理的前提条件？
• RQ2 定理1(iv)的失效是否使定理2的证明失效，该定理声称不存在长度大于13的奇数长度Barker序列？
• RQ3 能否在不改变Turyn与Storer原始框架的前提下修复定理2的证明，还是必须从头重建？
• RQ4 可采用哪些替代证明策略来建立定理2，而不依赖于定理1(iv)？
• RQ5 具有游程长度编码形式 $ (p,p,2p,p,p-1,p-1,\dots) $ 的序列是否始终产生对定理1(iv)的反例？

主要发现

• 通过具有游程长度编码如(3,3,6,3,2,2)和(5,5,10,5,4,4)的二元序列，构造了对定理1(iv)的显式反例。
• 当 $ p=3 $ 时，导出序列 $ z $ 不满足方程 (k) 对于 $ k=3 $，尽管 $ x $ 满足 $ 1 \leq k \leq 9 $ 时的方程。
• 当 $ p=5 $ 时，具有游程长度编码(5,5,10,5,15,5,4,1,3)的序列满足方程 (k) 对于 $ 1 \leq k \leq 26 $，但 $ z $ 在 $ k=5 $ 时不满足，与定理1(iv)的结论矛盾。
• Turyn与Storer论文中定理2的证明无效，因其依赖于错误的定理1(iv)，且定理1(iii)也因对(iv)的归纳依赖而受损。
• 定理1(iv)的失效破坏了定理2证明的整个归纳结构，使其在当前形式下不成立。
• 文献中存在定理2的替代证明（如[3]），该证明避免了对定理1(iii)和(iv)的依赖，转而使用牛顿恒等式。