[论文解读] Counterparty Risk Valuation: A Marked Branching Diffusion Approach

Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文提出了一种带标记的分支扩散方法，以高效计算衍生品定价中的双边对手方风险，为计算量巨大的蒙特卡洛嵌套方法提供了一种具有竞争力的替代方案。通过在扩散过程中嵌入一个伽顿-沃森随机树来建模违约事件，该方法为信用估值调整中出现的半线性PDE提供了概率解法，并在多个实例中进行了数值验证。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to design an algorithm for the computation of the counterparty risk which is competitive in regards of a brute force "Monte-Carlo of Monte-Carlo" method (with nested simulations). This is achieved using marked branching diffusions describing a Galton-Watson random tree. Such an algorithm leads at the same time to a computation of the (bilateral) counterparty risk when we use the default-risky or counterparty-riskless option values as mark-to-market. Our method is illustrated by various numerical examples.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的替代方法，以取代计算成本高昂的蒙特卡洛嵌套法在对手方风险估值中的应用。
• 解决多资产衍生品中双边对手方风险所引发的半线性PDE求解中的维度灾难问题。
• 利用分支扩散过程，为具有多项式非线性项的半线性抛物型PDE提供概率表示解。
• 在统一框架下实现对手方风险和违约情景下的盯市价值的计算。
• 通过涉及欧式期权和多资产投资组合的数值实例，展示该方法的准确性和高效性。

提出的方法

• 使用带标记的分支扩散过程，通过伽顿-沃森随机树结构表示违约事件和衍生品价值的演化。
• 通过带标记的分支过程建模对手方风险，其中每个节点代表一个潜在的违约事件及其相关的衍生品价值。
• 通过将PDE嵌入具有时间齐次分支率的分支扩散过程中，实现对半线性PDE解的随机表示。
• 应用费曼-卡茨公式，将PDE的解与分支扩散过程泛函的期望联系起来。
• 利用强马氏性质和增量的独立性，推导出递归期望，从而在树的每个节点上得到解。
• 通过PDE非线性项的多项式逼近处理非线性性，实现无需回归方法的条件期望估计的基于模拟的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 带标记的分支扩散过程能否为对手方风险估值提供一种高效且准确的蒙特卡洛嵌套法替代方案？
• RQ2 如何在不依赖有限差分格式或基于回归的倒向SDE方法的情况下求解双边对手方风险中出现的半线性PDE？
• RQ3 在高维情形下，分支扩散在多大程度上能够表示具有多项式非线性项的半线性PDE的解？
• RQ4 与标准的嵌套模拟技术相比，该方法在多资产衍生品投资组合中的数值表现如何？
• RQ5 该框架是否可通过在分支过程中引入马利avin权重，扩展至处理完全非线性PDE？

主要发现

• 所提出的带标记分支扩散方法在计算性能上与暴力蒙特卡洛嵌套法相比具有竞争力，显著减少了模拟时间。
• 该方法成功计算了在不同约定（含或不含对手方风险准备金）下，双边对手方风险和违约情景下的盯市价值。
• 数值实例验证了该方法在各类衍生品结构（包括欧式期权和多资产投资组合）中的准确性和稳定性。
• 该解被证明是底层半线性PDE的粘性解，且在比较原理下保证了解的唯一性。
• 该方法避免了传统倒向SDE方法在多资产情形下对基于回归的条件期望估计的依赖，从而克服了主要瓶颈。
• 理论证明建立了PDE解与分支扩散过程期望之间的等价性，验证了该方法的数学基础。