[论文解读] Counterterms in Supergravity

Zvi Bern, David C. Dunbar+6 more|ArXiv.org|Dec 23, 2000

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文通过一阶和二阶环图上的壳上四点振幅，研究了超引力理论的紫外行为，证明了在 $D \geq 6$ 时最大超引力是不可重整化的，并为 $D=4$ 中存在五阶环反项提供了有力证据。本文揭示了引力与杨-米尔斯振幅之间深刻的平方关系，表明超引力振幅可由杨-米尔斯结构的平方构造而成，从而通过单位性和维数正规化高效计算反项。

ABSTRACT

We examine the ultraviolet behaviour of supergravity theories as a function of dimension and number of supercharges. We do so by the computation of one and two-loop physical on-shell four point amplitudes. For maximal supergravity, our computations prove the non-renomalisability of supergravity for $D \geq 6$ (including the maximal D=11 case) and give strong evidence for the existance of a five-loop counterterm in D=4. For type I supergravity our results indicate similar patterns. e shall also explore a remarkable relationship between gravity amplitudes and those of Yang-Mills theories. In many ways gravity calculations discover features which relate to the equivalent Yang-Mills features by a squaring proceedure.

研究动机与目标

• 确定超引力理论在不同维度和超电荷数下的紫外有限性。
• 研究最大超引力在 $D=4$ 和 $D=11$ 是否可重整化，并识别潜在的反项。
• 探索引力振幅与杨-米尔斯振幅之间的结构关系，特别是通过‘平方’过程。
• 利用壳上单位性和维数正规化计算物理振幅，并提取反项结构。

提出的方法

• 使用基于单位性的方法和维数正规化计算一阶和二阶环图上的壳上四点振幅。
• 应用光学定理，从树图振幅的乘积中提取振幅的虚部，从而实现完整振幅的重建。
• 利用振幅的 $s$-通道切片确定 $D$ 维空间中标量盒子积分的系数。
• 利用规范对称性简化振幅，并减少振幅结构中独立项的数量。
• 采用基阿米-刘易森-泰（Kawai-Lewellen-Tye, KLT）关系，将引力振幅与杨-米尔斯振幅的乘积关联起来。
• 使用张量分解 $t_8 t_8 R^4 = \frac{1}{768}(A + 2B + C)$ 来识别 $N=8$ 超引力中的反项结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大超引力在 $D \geq 6$（包括 $D=11$）是否不可重整化？
• RQ2 $D=4$ $N=8$ 超引力中是否存在五阶环反项？其证据是什么？
• RQ3 在 $N=8$ 超引力中，引力振幅在一阶和二阶环图下在多大程度上源于杨-米尔斯振幅的平方？
• RQ4 $N=8$ 和 $N=4$ 超引力中的反项结构与 $R^4$ 和 $t_8 t_8 R^4$ 不变量之间有何关系？
• RQ5 在八维空间中，$t_{(12)}$ 和 $t_{(48)}$ 张量能否用于分解 $N=8$ 超引力中的 $R^4$ 反项？

主要发现

• 最大超引力在 $D \geq 6$（包括 $D=11$）是不可重整化的，这由 $D=8$ 时一阶环振幅的发散性以及高阶环图中非零反项的存在所证明。
• 在 $D=4$ $N=8$ 超引力中，发现了五阶环反项存在的强有力证据，依据是四阶环以内无发散性，且高阶环图中振幅结构符合反项特征。
• 在 $D=4,5,6,7$ 中，$N=8$ 超引力的一阶环振幅是有限的，但在 $D=8$ 时发散，确认了紫外行为随维度的变化。
• 在 $N=8$ 超引力中，二阶环振幅的结构与 $N=4$ 杨-米尔斯振幅的平方完全一致，证实了在二阶环图下引力-杨-米尔斯对偶性。
• 在 $D=10$ 时，$N=8$ 超引力振幅在壳上为零，但其 $N=4$ 成分不为零，且其反项可分解为动量依赖张量与积分结构的乘积。
• $N=8$ 超引力中的 $R^4$ 反项表示为 $\frac{1}{768}(A + 2B + C)$，其中 $A$、$B$ 和 $C$ 是涉及 $t_{(12)}$ 和 $t_{(48)}$ 的张量收缩，确认了 $t_8 t_8 R^4$ 不变量的结构。